{VERSION 2 3 "IBM INTEL NT" "2.3" } {USTYLETAB {CSTYLE "Maple Input" -1 0 "Courier" 0 1 255 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 }{CSTYLE "2D Math" -1 2 "Times" 0 1 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "2D Output" 2 20 "" 0 1 0 0 255 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 } {CSTYLE "" -1 256 "Wide Latin" 1 14 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 } {CSTYLE "" -1 257 "" 1 14 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 258 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 259 "" 1 14 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 260 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 261 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 }{PSTYLE "Normal " -1 0 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }0 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "Heading 1" 0 3 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 1 18 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 }1 0 0 0 6 6 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "Maple Output" 0 11 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }3 3 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }} {SECT 0 {EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 46 " \+ " }{TEXT 259 1 " " }{TEXT 256 23 " Vollst\344ndige Induktion" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 " " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}{SECT 0 {PARA 3 "" 0 "" {TEXT 257 35 "Aufgabe zur vollst\344ndigen Induktion" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "" 0 " " {TEXT -1 56 "Als Beispiel dient die Aufgabe : 1+2+3...+n = 1/2n(n+1) " }{MPLTEXT 1 0 0 "" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 9 "restart: " } }}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT 258 18 "Es ist zu beweisen" }{TEXT -1 1 ":" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 38 "Behauptung:=Sum(i,i=1..n)=1 /2*n*(n+1);" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%+BehauptungG/-%$SumG6$%\"iG/F);\"\"\"%\"nG,$*&F-F,,&F -F,F,F,F,#F,\"\"#" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 149 "Um \374berh aupt eine vollst\344ndige Induktion duchzuf\374hren, braucht man zuers t eine Behauptung, d.h. in diesem Fall soll f\374r alle n E N 1/2n(n+ 1) gelten." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT 260 9 "1.Anfang:" }{MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 49 "( rhs ist die rechte Seite der oberen Gle ichung )" }{MPLTEXT 1 0 0 "" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 42 "seq( sum(i,i=1..n)-rhs(Behauptung),n=1..5);" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6'\"\"!F#F#F#F#" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 174 " Um nun mit der vollst\344ndigen Induktion zu beginnen, ben\366tigt man den Induktionsanfang. Hier soll man zeigen, da\337 die obige Behauptu ng wahr ist. F\374r n setzt man einfach 1 ein." }}}{EXCHG {PARA 0 "> \+ " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT 261 20 "2.Ind uktionsschritt:" }{MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 34 "sum(i,i=1..(n+1))=1/2*(n+1)*(n+2);" }}{PARA 11 "" 1 " " {XPPMATH 20 "6#/,(*$,&%\"nG\"\"\"\"\"#F(F)#F(F)F'#!\"\"F)F,F(,$*&,&F 'F(F(F(F(F&F(F*" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }} {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 14 "Gl:=factor(\");" }}{PARA 0 "> " 0 " " {MPLTEXT 1 0 0 "" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%#GlG/,$*&,&%\" nG\"\"\"F*F*F*,&F)F*\"\"#F*F*#F*F,F&" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 234 "Beim 2.Teil der Induktion, ben\374tzt man den Induktionsschrit t (kurz I-Schritt). Bei diesem Schritt wird n durch n+1 ersetzt. Dadur ch soll gezeigt werden, da\337 die Annahme auch f\374r jede noch belie bige Zahl, auch das Unendliche, wahr ist." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 228 "Um dies nun zu beweisen werden die beiden Gleichungen, also n=1 u nd n=n+1 gleichgesetzt. Haben die beiden Seiten den gleichen Wert, so \+ gilt die Behauptung 1/2n(n+1) f\374r alle n E N. In diesem Fall ist di e Behauptung wahr gewesen." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}}} {MARK "1 14 1 0" 228 }{VIEWOPTS 1 1 0 1 1 1803 }