{VERSION 5 0 "IBM INTEL NT" "5.0" } {USTYLETAB {CSTYLE "Maple Input" -1 0 "Courier" 0 1 255 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "2D Math" -1 2 "Times" 0 1 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "Hyperlink" -1 17 "" 0 1 0 128 128 1 2 0 1 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "2D Comment" 2 18 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 } {CSTYLE "2D Input" 2 19 "" 0 1 255 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "" -1 256 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "" -1 257 "" 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "" -1 258 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 259 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 } {CSTYLE "" -1 260 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 261 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 262 "" 1 14 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 263 "" 1 14 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 264 "" 1 14 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 } {CSTYLE "" -1 265 "" 1 24 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 266 "" 1 14 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 267 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" 18 268 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 269 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 } {CSTYLE "" 18 270 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 271 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" 18 272 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 273 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" 18 274 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 } {CSTYLE "" -1 275 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" 18 276 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 277 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" 18 278 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 279 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 } {CSTYLE "" 18 280 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 281 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" 18 282 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 283 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 284 "" 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 } {PSTYLE "Normal" -1 0 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times" 1 12 0 0 0 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 }1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 2 2 0 1 }{PSTYLE "Heading 1" -1 3 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times" 1 18 0 0 0 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 }1 1 0 0 8 4 1 0 1 0 2 2 0 1 }{PSTYLE "Heading 2" -1 4 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times " 1 14 0 0 0 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 }1 1 0 0 8 2 1 0 1 0 2 2 0 1 } {PSTYLE "Heading 3" -1 5 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times" 1 12 0 0 0 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 }1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 2 2 0 1 }{PSTYLE "Normal" -1 256 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times" 1 12 0 0 0 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 }3 1 0 0 0 0 1 0 1 0 2 2 0 1 }{PSTYLE "Normal" -1 257 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times " 1 12 0 0 0 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 }2 1 0 0 0 0 1 0 1 0 2 2 0 1 } {PSTYLE "Normal" -1 258 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times" 1 12 0 0 0 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 }1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 2 2 0 1 }{PSTYLE "Normal" -1 259 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times" 1 12 0 0 0 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 }3 1 0 0 0 0 1 0 1 0 2 2 0 1 }{PSTYLE "" 0 260 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }3 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "" 0 261 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }3 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }} {SECT 0 {EXCHG {PARA 257 "" 0 "" {TEXT -1 9 "18.1.2002" }}{PARA 257 " " 0 "" {TEXT -1 14 "Friedemann L\366w" }}}{SECT 1 {PARA 3 "" 0 "" {TEXT -1 7 "Quellen" }}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 54 "Mathe-Buch, von Herr Kr\374ger kopiert (Titel, Verlag??) " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 60 "Titel: Funktions ann\344herungen, speziell die TAYLORsche Formel" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 46 "Dateiname: fktTaylor.mws\nAutor: Friedemann L\366w" }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 61 "Stichw\366rter: Taylor, Funktionen, Appro ximation, Interpolation" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 37 "Schule: Quenst edt-Gymnasium M\366ssingen" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 40 "Klasse: Mat h-COM LK 2002, Schuljahr 13.1" }}}{EXCHG {PARA 256 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 256 "" 0 "" {TEXT 265 21 "F unktionsann\344herungen" }}{PARA 256 "" 0 "" {TEXT 266 30 "speziell di e TAYLORsche Formel" }{TEXT -1 0 "" }}{PARA 256 "" 0 "" {TEXT -1 30 "E in Referat von Friedemann L\366w" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }} {SECT 1 {PARA 3 "" 0 "" {TEXT -1 13 "Interpolation" }}{EXCHG {PARA 0 " > " 0 "" {MPLTEXT 1 0 35 "restart: with(linalg): with(plots):" }}} {EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 72 "H\344ufig sind von Funktionen nur \+ die Werte an bestimmten Stellen bekannt. " }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 5 "Satz:" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 74 "eine ganzrationale F unktion n-ten Grades ist durch (n+1) geordnete Paare (" }{XPPEDIT 18 0 "x[i];" "6#&%\"xG6#%\"iG" }{TEXT -1 4 "; f(" }{XPPEDIT 18 0 "x[i];" "6#&%\"xG6#%\"iG" }{TEXT -1 22 ")) eindeutig bestimmt." }}}{SECT 1 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 11 "Beispiel 1:" }}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 46 "Allgemeine Gleichung einer Funktion 3. Grades:" }}{PARA 0 "" 0 "" {XPPEDIT 18 0 "f(x) = a*x^3+b*x^2+c*x+d;" "6#/-%\"fG6#%\"xG, **&%\"aG\"\"\"*$F'\"\"$F+F+*&%\"bGF+*$F'\"\"#F+F+*&%\"cGF+F'F+F+%\"dGF +" }{TEXT -1 1 " " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 117 "Da wir vier Variabe ln haben, brauchen wir mindestens 4 Punkte auf der Funktion, um sie ei ndeutig bestimmen zu k\366nnen." }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 29 "Beispiel: Wir haben 4 Punkte:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 49 "P1:=[1,-17]; P2:=[0,3]; P3:=[-1,29]; P4:=[2,-25];" }} }{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 112 "Das Einsetzen der Werte der Punk te in die allgemeine Gleichung der Funktion f\374hrt zu folgendem Glei chungssystem:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 155 "P1[2] = P 1[1]^3*a+P1[1]^2*b+P1[1]*c+d;\nP2[2] = P2[1]^3*a+P2[1]^2*b+P2[1]*c+d; \nP3[2] = P3[1]^3*a+P3[1]^2*b+P3[1]*c+d;\nP4[2] = P4[1]^3*a+P4[1]^2*b+ P4[1]*c+d;" }}}{SECT 1 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 27 "L\366sen des Gleic hungssystems" }}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 69 "Dieses Gleichungss ystem l\344sst sich entweder direkt mit Maple l\366sen..." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 174 "solve(\{P1[2] = P1[1]^3*a+P1[1]^2* b+P1[1]*c+d,\nP2[2] = P2[1]^3*a+P2[1]^2*b+P2[1]*c+d,\nP3[2] = P3[1]^3* a+P3[1]^2*b+P3[1]*c+d,\nP4[2] = P4[1]^3*a+P4[1]^2*b+P4[1]*c+d\},\{a,b, c,d\});" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 45 "... oder als Matrix sc hreiben und dann l\366sen:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 144 "M:=matrix([[P1[1]^3,P1[1]^2,P1[1],1,P1[2]],\n[P2[1]^3,P2[1]^2,P2[ 1],1,P2[2]],\n[P3[1]^3,P3[1]^2,P3[1],1,P3[2]],\n[P4[1]^3,P4[1]^2,P4[1] ,1,P4[2]]]);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 18 "geM:=gausse lim(M);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 13 "backsub(geM);" } }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 95 "Durch l\366sen des Gleichungssy stems sind a, b, c und d bekannt und wir kennen somit die Funktion:" } }{PARA 0 "" 0 "" {XPPEDIT 18 0 "f(x) = x^3+3*x^2-24*x+3;" "6#/-%\"fG6# %\"xG,**$F'\"\"$\"\"\"*&F*F+*$F'\"\"#F+F+*&\"#CF+F'F+!\"\"F*F+" } {TEXT -1 2 " ." }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 21 "Graphische Kont rolle:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 112 "pl:=plot(x^3+3*x ^2-24*x+3,x=-8..8,-30..90,color=red): pp:=pointplot([P1,P2,P3,P4],colo r=blue): display([pl,pp]);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 49 "Die Punkte liegen wirklich alle auf der Funktion." }}}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 98 "Dieser Satz findet eine Wichtige Anwendung, wenn von einer beliebigen Funktion nur die St\374tzwerte " }{XPPEDIT 18 0 "f(x [1]);" "6#-%\"fG6#&%\"xG6#\"\"\"" }{TEXT -1 4 ", f(" }{XPPEDIT 18 0 "x [2];" "6#&%\"xG6#\"\"#" }{TEXT -1 10 "), ..., f(" }{XPPEDIT 18 0 "x[n] ;" "6#&%\"xG6#%\"nG" }{TEXT -1 29 ") an bestimmten St\374tzstellen " } {XPPEDIT 18 0 "x[1];" "6#&%\"xG6#\"\"\"" }{TEXT -1 2 ", " }{XPPEDIT 18 0 "x[2];" "6#&%\"xG6#\"\"#" }{TEXT -1 7 ", ..., " }{XPPEDIT 18 0 "x [n];" "6#&%\"xG6#%\"nG" }{TEXT -1 528 ", bekannt sind, aber ein Wert e rmittelt werden soll, der zwischen diesen St\374tzstellen liegt. Wenn \+ diese Aufgabe nicht mit einfachen Mitteln gel\366st werden kann, benut zt man die Interpolation, die sich auf den Satz oben st\374tzt. Bei de r Interpolation geht es darum, N\344herungsfunktionen zu finden, welch e die bekannten Punkte genau beinhalten. Mit Hilfe dieser N\344herungs funktionen lassen sich dann Werte zwischen den St\374tzstellen ausrech nen. Dieses Verfahren nennt man Approximation. Die Grundaufgabe der In terpolation lautet also:\n" }{TEXT 256 94 "Man bestimme eine m\366glic hst einfache Funktion, die an den St\374tzstellen die St\374tzwerte an nimmt." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 133 "Da Polynome, also ganzrational e Funktionen, die einfachsten Funktionen sind, werden im allgemeinen d iese zur Interpolation verwendet." }}}{SECT 1 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 11 "Beispiel 2:" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 35 "restar t: with(linalg): with(plots):" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 52 " Die Sinusfunktion f(x) = sin x ist im intervall [0; " }{XPPEDIT 18 0 " Pi/2;" "6#*&%#PiG\"\"\"\"\"#!\"\"" }{TEXT -1 41 "] durch ein polynom 5 . Grades anzun\344hern." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 26 "Die St\374tzst ellen seien 0, " }{XPPEDIT 18 0 "Pi/6;" "6#*&%#PiG\"\"\"\"\"'!\"\"" } {TEXT -1 2 ", " }{XPPEDIT 18 0 "Pi/4;" "6#*&%#PiG\"\"\"\"\"%!\"\"" } {TEXT -1 5 " und " }{XPPEDIT 18 0 "Pi/2;" "6#*&%#PiG\"\"\"\"\"#!\"\"" }{TEXT -1 1 "." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT 257 46 "Da die Sinusfunktion e ine ungerade Funktion is" }{TEXT 284 1 "t" }{TEXT -1 140 ", kann sie N ur durch polynome angen\344hert werden, die ausschlie\337lich ungerade Potenzen enthalten. Die Grundgleichung unser funktion ist also:" }} {PARA 0 "" 0 "" {XPPEDIT 18 0 "p(x) = a*x^5+b*x^3+c*x;" "6#/-%\"pG6#% \"xG,(*&%\"aG\"\"\"*$F'\"\"&F+F+*&%\"bGF+*$F'\"\"$F+F+*&%\"cGF+F'F+F+ " }{TEXT -1 1 "." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 13 "f:=x->sin(x);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 73 "P1:=[0,f(0)]; P2:=[Pi/6,f(Pi/6)]; P3:=[Pi/4,f(Pi/4)]; P4:=[Pi/2,f(Pi/2)];" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 48 "Nun stell en wir wieder ein Gleichungssystem auf:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 136 "M:=matrix([[P1[1]^5,P1[1]^3,P1[1],P1[2]],\n[P2[1]^5, P2[1]^3,P2[1],P2[2]],\n[P3[1]^5,P3[1]^3,P3[1],P3[2]],\n[P4[1]^5,P4[1]^ 3,P4[1],P4[2]]]);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 18 "gjM:=g aussjord(M):" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 18 "Lsg:=backsu b(gjM);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 9 "evalf(%);" }}} {EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 35 "Die N\344herungsgleichung lautet a lso:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 45 "p:=unapply(Lsg[1]*x ^5+Lsg[2]*x^3+Lsg[3]*x,x);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 98 "Nun zum Vergleich, ob diese Funktion wirklich n\344herungsweise die Funkt ion f(x) = sin x beschreibt:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 69 "evalf(f(Pi/3)=p(Pi/3)); evalf(f(Pi/5)=p(Pi/5)); evalf(f(1.3)=p(1 .3));" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 84 "pl:=plot([f(x),p(x )],x=0..4,-.5..1): pp:=pointplot([P1,P2,P3,P4]): display([pl,pp]);" }} }{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 256 "Man sieht also, dass die N\344he rungsfunktion bis zum letzten St\374tzpunkt gut mit der Ausgangsfunkti on \374bereinstimmt, sich dann aber relativ schnell von ihr entfernt. \+ Allerdings reicht sie aus, um Werte zwischen den St\374tzpunkten ausre ichend genau zu bestimmen." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 " > " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 364 "Gr unds\344tzlich lassen sich alle Approximationsprobleme durch den Ansat z der Interpolation mit einem Polynom l\366sen. Es gibt nur die Nachte ile, dass die Interpolation ohne Computer mit einem relativ gro\337en \+ Rechenaufwand verbunden ist (besonders bei vielen St\374tzstellen), un d bei Hinzunahme einer neuen St\374tzstelle jedesmal wieder ganz von v orne begonnen werden muss. " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 390 "Aus diese m Grunde wurden von J.-L. Lagrange und I. Newton andere L\366sungsmeth oden auf der Grundlage des Interpolationsverfahrens entwickelt, mit de nen sie auf Formeln gelangten, die einfacher zu berechnen sind. Auf di ese m\366chte ich hier aber nicht weiter eingehen. Ein weiteres Verfah ren der Approximation ist die TAYLORsche Formel. Diese m\366chte ich i m zweiten Teil des Referats beschreiben." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{SECT 1 {PARA 3 "" 0 "" {TEXT -1 21 "Die TAYLORsche Formel" }}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 265 "Bei der TAYLORschen Formel geht es darum, jede beliebige Funktion in eine ganzrationale Funktion zu verwandeln und dadurch lei chter berechenbar zu machen. Nach diesem Prinzip arbeiten viele Tasche nrechener und Computer beim Berechnen von nichtrationalen Funktionen. " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 97 "Ich m\366chte im Folgenden beschreibe n, wie diese Formel hergeleitet wird, und wie man sie anwendet." }}} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{SECT 1 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 33 "H erleitung der TAYLORschen Formel" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 8 "restart:" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 115 "Die Grundidee der TAYLORschen Formel ist es, eine Funktion anders zu beschreiben. z um Beispiel die Funktion f(x) = " }{XPPEDIT 18 0 "a[4]*x^4+a[3]*x^3+a[ 2]*x^2+a[1]*x+a[0];" "6#,,*&&%\"aG6#\"\"%\"\"\"*$%\"xGF(F)F)*&&F&6#\" \"$F)*$F+F/F)F)*&&F&6#\"\"#F)*$F+F4F)F)*&&F&6#F)F)F+F)F)&F&6#\"\"!F)" }{TEXT -1 1 "." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 55 "zum einfacheren Verst \344ndnis setzen wir f\374r a Werte ein:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 30 "f:=x->5*x^4+8*x^3-2*x^2+4*x+7;" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 31 "Nun bilden wir die Ableitungen:" }}}{EXCHG {PARA 0 " > " 0 "" {MPLTEXT 1 0 53 "f1:=D(f); f2:=D(f1); f3:=D(f2); f4:=D(f3); f 5:=D(f4);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 87 "'f(0)'=f(0); ' f1(0)'=f1(0); 'f2(0)'=f2(0); 'f3(0)'=f3(0); 'f4(0)'=f4(0); 'f5(0)'=f5( 0);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 55 "Wenn man diese Zahlen gena u betrachtet f\344llt etwas auf:" }}}{EXCHG {PARA 256 "" 0 "" {XPPEDIT 18 0 "a[0] = f(0);" "6#/&%\"aG6#\"\"!-%\"fG6#F'" }{TEXT -1 3 " = " }{XPPEDIT 18 0 "f(0)/0!;" "6#*&-%\"fG6#\"\"!\"\"\"-%*factorialG6 #F'!\"\"" }{TEXT -1 4 " = 7" }}{PARA 256 "" 0 "" {TEXT -1 1 " " } {XPPEDIT 18 0 "a[1] = f1(0);" "6#/&%\"aG6#\"\"\"-%#f1G6#\"\"!" }{TEXT -1 3 " = " }{XPPEDIT 18 0 "f1(0)/1!;" "6#*&-%#f1G6#\"\"!\"\"\"-%*facto rialG6#F(!\"\"" }{TEXT -1 4 " = 4" }}{PARA 256 "" 0 "" {TEXT -1 1 " " }{XPPEDIT 18 0 "a[2] = f2(0)/2;" "6#/&%\"aG6#\"\"#*&-%#f2G6#\"\"!\"\" \"F'!\"\"" }{TEXT -1 3 " = " }{XPPEDIT 18 0 "f2(0)/2!;" "6#*&-%#f2G6# \"\"!\"\"\"-%*factorialG6#\"\"#!\"\"" }{TEXT -1 5 " = -2" }}{PARA 256 "" 0 "" {TEXT -1 1 " " }{XPPEDIT 18 0 "a[3] = f3(0)/6;" "6#/&%\"aG6#\" \"$*&-%#f3G6#\"\"!\"\"\"\"\"'!\"\"" }{TEXT -1 3 " = " }{XPPEDIT 18 0 " f3(0)/3!;" "6#*&-%#f3G6#\"\"!\"\"\"-%*factorialG6#\"\"$!\"\"" }{TEXT -1 4 " = 8" }}{PARA 256 "" 0 "" {XPPEDIT 18 0 "a[4] = f4(0)/24;" "6#/& %\"aG6#\"\"%*&-%#f4G6#\"\"!\"\"\"\"#C!\"\"" }{TEXT -1 3 " = " } {XPPEDIT 18 0 "f4(0)/4!;" "6#*&-%#f4G6#\"\"!\"\"\"-%*factorialG6#\"\"% !\"\"" }{TEXT -1 4 " = 5" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 94 "Die Koeffizie nten einer Funktion sind also durch die Ableitungen an der Stelle x = \+ 0 bestimmt." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 " " {TEXT -1 23 "Daraus leitet sich die " }{TEXT 267 17 "TAYLORsche Form el" }{TEXT -1 33 " f\374r Ganzrationale Funktionen ab:" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 258 "" 0 "" {TEXT -1 65 "Ist eine (ganzrati onale) Funktion y = f(x) in einer Umgebung von " }{XPPEDIT 18 0 "x[0]; " "6#&%\"xG6#\"\"!" }{TEXT -1 52 " = 0 n-mal differenzierbar, so exist iert ein Polynom" }}{PARA 259 "" 0 "" {XPPEDIT 18 0 "T[n](x);" "6#-&% \"TG6#%\"nG6#%\"xG" }{TEXT -1 3 " = " }{XPPEDIT 18 0 "f(0);" "6#-%\"fG 6#\"\"!" }{TEXT -1 3 " + " }{XPPEDIT 18 0 "f1(0)/1!;" "6#*&-%#f1G6#\" \"!\"\"\"-%*factorialG6#F(!\"\"" }{TEXT -1 5 " x + " }{XPPEDIT 18 0 "f 2(0)/2!;" "6#*&-%#f2G6#\"\"!\"\"\"-%*factorialG6#\"\"#!\"\"" }{TEXT -1 1 " " }{XPPEDIT 18 0 "x^2;" "6#*$%\"xG\"\"#" }{TEXT -1 9 " + ... + \+ " }{XPPEDIT 18 0 "fn(0)/n!;" "6#*&-%#fnG6#\"\"!\"\"\"-%*factorialG6#% \"nG!\"\"" }{TEXT -1 1 " " }{XPPEDIT 18 0 "x^n;" "6#)%\"xG%\"nG" } {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 69 "Dieses Polynom wird auch \+ das TAYLORsche Polynom von y = f(x) genannt." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 94 "Man sagt auch: Die Funktion ist an der Stelle 0 nach TAYLOR ent wickelt und schreibt abk\374rzend:" }}{PARA 259 "" 0 "" {XPPEDIT 18 0 "T[n](x);" "6#-&%\"TG6#%\"nG6#%\"xG" }{TEXT -1 3 " = " }{XPPEDIT 18 0 "Sum(fc(0)/c!,c = 0 .. n);" "6#-%$SumG6$*&-%#fcG6#\"\"!\"\"\"-%*factor ialG6#%\"cG!\"\"/F/;F*%\"nG" }{TEXT -1 1 " " }{XPPEDIT 18 0 "x^c;" "6# )%\"xG%\"cG" }{TEXT -1 1 " " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}} {EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 65 " Wenn man nun nicht die Entwicklun gsstelle 0, sondern die Stelle " }{XPPEDIT 18 0 "x[0];" "6#&%\"xG6#\" \"!" }{TEXT -1 1 " " }{XPPEDIT 18 0 "epsilon;" "6#%(epsilonG" }{TEXT -1 1 " " }{XPPEDIT 18 0 "D[f];" "6#&%\"DG6#%\"fG" }{TEXT -1 65 " w\344 hlt, und nach steigender Potenz ordnet, so muss man x durch (" } {XPPEDIT 18 0 "x-x[0];" "6#,&%\"xG\"\"\"&F$6#\"\"!!\"\"" }{TEXT -1 43 ") ersetzen. Somit ergiebt sich das Polynom:" }}{PARA 256 "" 0 "" {TEXT -1 7 "f(x) = " }{XPPEDIT 18 0 "b[0];" "6#&%\"bG6#\"\"!" }{TEXT -1 3 " + " }{XPPEDIT 18 0 "b[1];" "6#&%\"bG6#\"\"\"" }{TEXT -1 4 " * ( " }{XPPEDIT 18 0 "x-x[0];" "6#,&%\"xG\"\"\"&F$6#\"\"!!\"\"" }{TEXT -1 4 ") + " }{XPPEDIT 18 0 "b[2];" "6#&%\"bG6#\"\"#" }{TEXT -1 3 " * " } {XPPEDIT 18 0 "(x-x[0])^2;" "6#*$,&%\"xG\"\"\"&F%6#\"\"!!\"\"\"\"#" } {TEXT -1 9 " + ... + " }{XPPEDIT 18 0 "b[n];" "6#&%\"bG6#%\"nG" } {TEXT -1 3 " * " }{XPPEDIT 18 0 "(x-x[0])^n;" "6#),&%\"xG\"\"\"&F%6#\" \"!!\"\"%\"nG" }{TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 37 "Durch dif ferenzieren von f erh\344lt man" }}{PARA 256 "" 0 "" {TEXT -1 8 "f1(x) = " }{XPPEDIT 18 0 "b[1];" "6#&%\"bG6#\"\"\"" }{TEXT -1 4 " + 2" } {XPPEDIT 18 0 "b[2];" "6#&%\"bG6#\"\"#" }{TEXT -1 4 " * (" }{XPPEDIT 18 0 "x-x[0];" "6#,&%\"xG\"\"\"&F$6#\"\"!!\"\"" }{TEXT -1 14 ") + ... \+ + n * " }{XPPEDIT 18 0 "b[n];" "6#&%\"bG6#%\"nG" }{TEXT -1 3 " * " } {XPPEDIT 18 0 "(x-x[0])^(n-1);" "6#),&%\"xG\"\"\"&F%6#\"\"!!\"\",&%\"n GF&F&F*" }{TEXT -1 0 "" }}{PARA 256 "" 0 "" {TEXT -1 9 "f2(x) = 2" } {XPPEDIT 18 0 "b[2];" "6#&%\"bG6#\"\"#" }{TEXT -1 19 " + ... + (n - 1) * " }{XPPEDIT 18 0 "b[n];" "6#&%\"bG6#%\"nG" }{TEXT -1 3 " * " } {XPPEDIT 18 0 "(x-x[0])^(n-1);" "6#),&%\"xG\"\"\"&F%6#\"\"!!\"\",&%\"n GF&F&F*" }{TEXT -1 0 "" }}{PARA 256 "" 0 "" {TEXT -1 3 "..." }}{PARA 256 "" 0 "" {TEXT -1 13 "fn(x) = n! * " }{XPPEDIT 18 0 "b[n];" "6#&%\" bG6#%\"nG" }{TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 " " 0 "" {TEXT -1 8 "f\374r x = " }{XPPEDIT 18 0 "x[0];" "6#&%\"xG6#\"\" !" }{TEXT -1 11 " gilt dann:" }}{PARA 256 "" 0 "" {TEXT -1 2 "f(" } {XPPEDIT 18 0 "x[0];" "6#&%\"xG6#\"\"!" }{TEXT -1 4 ") = " }{XPPEDIT 18 0 "b[0];" "6#&%\"bG6#\"\"!" }{TEXT -1 6 " bzw. " }{XPPEDIT 18 0 "b[ 0];" "6#&%\"bG6#\"\"!" }{TEXT -1 5 " = f(" }{XPPEDIT 18 0 "x[0];" "6#& %\"xG6#\"\"!" }{TEXT -1 1 ")" }}{PARA 256 "" 0 "" {TEXT -1 3 "f1(" } {XPPEDIT 18 0 "x[0];" "6#&%\"xG6#\"\"!" }{TEXT -1 4 ") = " }{XPPEDIT 18 0 "b[1];" "6#&%\"bG6#\"\"\"" }{TEXT -1 6 " bzw. " }{XPPEDIT 18 0 "b [1];" "6#&%\"bG6#\"\"\"" }{TEXT -1 6 " = f1(" }{XPPEDIT 18 0 "x[0];" " 6#&%\"xG6#\"\"!" }{TEXT -1 1 ")" }}{PARA 256 "" 0 "" {TEXT -1 3 "f2(" }{XPPEDIT 18 0 "x[0];" "6#&%\"xG6#\"\"!" }{TEXT -1 9 ") = 2! * " } {XPPEDIT 18 0 "b[2];" "6#&%\"bG6#\"\"#" }{TEXT -1 6 " bzw. " } {XPPEDIT 18 0 "b[2];" "6#&%\"bG6#\"\"#" }{TEXT -1 3 " = " }{XPPEDIT 18 0 "f2(x[0])/2!;" "6#*&-%#f2G6#&%\"xG6#\"\"!\"\"\"-%*factorialG6#\" \"#!\"\"" }{TEXT -1 0 "" }}{PARA 256 "" 0 "" {TEXT 258 3 "..." }} {PARA 256 "" 0 "" {TEXT -1 3 "fn(" }{XPPEDIT 18 0 "x[0];" "6#&%\"xG6# \"\"!" }{TEXT -1 9 ") = n! * " }{XPPEDIT 18 0 "b[n];" "6#&%\"bG6#%\"nG " }{TEXT -1 6 " bzw. " }{XPPEDIT 18 0 "b[n];" "6#&%\"bG6#%\"nG" } {TEXT -1 3 " = " }{XPPEDIT 18 0 "fn(x[0])/n!;" "6#*&-%#fnG6#&%\"xG6#\" \"!\"\"\"-%*factorialG6#%\"nG!\"\"" }{TEXT -1 1 " " }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 106 "Wenn man aus diesen Ableitungen wieder das TAYLO Rsche Polynom zusammensetzt, dann ergibt sich die Funktion" }}}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 256 "" 0 "" {TEXT 262 5 "TAYLO " }{TEXT 264 0 "" }{TEXT 263 11 "R-Funktion:" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 256 "" 0 "" {XPPEDIT 268 0 "T[n];" "6#&%\"TG6#%\"nG" } {TEXT 269 8 "(x) = f(" }{XPPEDIT 270 0 "x[0];" "6#&%\"xG6#\"\"!" } {TEXT 271 4 ") + " }{XPPEDIT 272 0 "f1(x[0])/1!;" "6#*&-%#f1G6#&%\"xG6 #\"\"!\"\"\"-%*factorialG6#F+!\"\"" }{TEXT 273 2 " (" }{XPPEDIT 274 0 "x-x[0];" "6#,&%\"xG\"\"\"&F$6#\"\"!!\"\"" }{TEXT 275 4 ") + " } {XPPEDIT 276 0 "f2(x[0])/2!;" "6#*&-%#f2G6#&%\"xG6#\"\"!\"\"\"-%*facto rialG6#\"\"#!\"\"" }{TEXT 277 1 " " }{XPPEDIT 278 0 "(x-x[0])^2;" "6#* $,&%\"xG\"\"\"&F%6#\"\"!!\"\"\"\"#" }{TEXT 279 9 " + ... + " } {XPPEDIT 280 0 "fn(x[0])/n!;" "6#*&-%#fnG6#&%\"xG6#\"\"!\"\"\"-%*facto rialG6#%\"nG!\"\"" }{TEXT 281 1 " " }{XPPEDIT 282 0 "(x-x[0])^n;" "6#) ,&%\"xG\"\"\"&F%6#\"\"!!\"\"%\"nG" }{TEXT 283 1 "." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 39 "Diese Funktion l\344sst sich schreiben als" }}{PARA 256 " " 0 "" {XPPEDIT 18 0 "T[n];" "6#&%\"TG6#%\"nG" }{TEXT -1 6 "(x) = " } {XPPEDIT 18 0 "Sum(fc(x[0])/c!,c = 0 .. n);" "6#-%$SumG6$*&-%#fcG6#&% \"xG6#\"\"!\"\"\"-%*factorialG6#%\"cG!\"\"/F2;F-%\"nG" }{TEXT -1 1 " \+ " }{XPPEDIT 18 0 "(x-x[0])^c;" "6#),&%\"xG\"\"\"&F%6#\"\"!!\"\"%\"cG" }{TEXT -1 2 " " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 45 "Der auf diese Weise ge wonnene Funktionstherm " }{XPPEDIT 18 0 "T[n];" "6#&%\"TG6#%\"nG" } {TEXT -1 39 "(x) ist identisch mit der Funktion f(x)" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{SECT 1 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 71 "Beispiel f\374 r eine Entwicklung einer ganzrationalen Funktion nach TAYLOR" }} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 8 "restart:" }}}{EXCHG {PARA 0 " " 0 "" {TEXT -1 20 "Die Funktion f(x) = " }{XPPEDIT 18 0 "3*x^5+2*x^3- 1/2*x^2+x-22.3;" "6#,,*&\"\"$\"\"\"*$%\"xG\"\"&F&F&*&\"\"#F&*$F(F%F&F& *(F&F&F+!\"\"F(F+F.F(F&-%&FloatG6$\"$B#F.F." }{TEXT -1 54 " soll an de r Stelle x=2 nach TAYLOR entwickelt werden." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 33 "f:=x->3*x^5+2*x^3-1/2*x^2+x-22.3;" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 86 "Die Funktion ist eine Funktion 5. Grades. Wir ben\366tigen also die ersten 5 Ableitungen:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 53 "f1:=D(f); f2:=D(f1); f3:=D(f2); f4:=D(f3); f5 :=D(f4);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 68 "Diese Funktionen setz en wir nun mit x=2 zur TAYLOR-Funktion zusammen" }}}{EXCHG {PARA 0 "> \+ " 0 "" {MPLTEXT 1 0 102 "T:=unapply(f(2)+f1(2)/1!*(x-2)+f2(2)/2!*(x-2) ^2+f3(2)/3!*(x-2)^3+f4(2)/4!*(x-2)^4+f5(2)/5!*(x-2)^5,x);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 99 "Wenn wir diese Funktion wieder Ausmultipl izieren, sehen wir, dass sie Exakt mit f(x) \374bereinstimmt:" }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 34 "'T(x)'=simplify(T(x));'f(x)' =f(x);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 157 "Die Entwicklug einer T AyLOR-Funktion aus einer ganzrationalen Funktion ist nat\374rlich sinn los, aber damit ist bewiesen, dass die TAYLOR-Funktion funktioniert." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 497 "Auf genau die gle iche Weise kann man vorgehen, wenn man eine nichtrationale Funktion mi t Hilfe einer ganzrationalen ann\344hern will. Allerdings sind hier im Gegensatz zu einer ganzrationalen Funktion n-ten grades, wo die (n+1) -te und alle wwiteren Ableitungen 0 sind, die Ableitungen meist nie gl eich 0. Das w\374rde also hei\337en, dass die Entwicklung einer nichtr ationalen Funktion nie abbrechen w\374rde. Also kann eine solche Funkt ion nur bis auf eine bestimmte Anzahl von Ableitungen angen\344hert we rden." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 115 "Hier eine kleine Animation, die das Ann\344hern der TAYLOR-Funktion an die Ausgangsfunktion mit steig endem Grad zeigt:" }}}{EXCHG {PARA 256 "" 0 "" {GLPLOT2D 400 300 300 {PLOTDATA 2 "6#-%(ANIMATEG6.7&-%'CURVESG6%7bp7$$\"\"!F-F,7$$\"3GLLL3x& )*3\"!#=$\"3s-w#GX,x3\"F17$$\"3emmm;arz@F1$\"3#omk:3'\\i@F17$$\"3v*** \\7y%*z7$F1$\"3[5PuXZBxIF17$$\"3[LL$e9ui2%F1$\"3Y%>(=1EKkRF17$$\"3nmmm \"z_\"4iF1$\"3!et=0V)zc;***F17$$\"3%om;zR'ok;FP$\"3yv)3Dkbf &**F17$$\"3OLL3_(>/x\"FP$\"3YD_%>A89!)*F17$$\"33++D1J:w=FP$\"3:bBEMvRP &*F17$$\"3+n;HdG\"\\)>FP$\"3IhFB$p@Z:*F17$$\"3oLLL3En$4#FP$\"3)4J8vCkQ m)F17$$\"3#pmmT!RE&G#FP$\"3A'y&=(*>UavF17$$\"3D+++D.&4]#FP$\"3[Ywmr_5x fF17$$\"3?+++]jB4EFP$\"3I(*3>8(\\c2&F17$$\"3;+++vB__d. -P@F17$$\"3pL$eky#*4-$FP$\"3$yDI)*QxI?\"F17$$\"3&om;z*ev:JFP$\"3Wz2mE \")Q$e#!#>7$$\"3>+]7.%Q%GKFP$!350zC#HiOn)F\\t7$$\"3_LLL347TLFP$!3=h!o% p'p?)>F17$$\"3#QLL3xxlV$FP$!3)Q!=Q-hD2HF17$$\"3nLLLLY.KNFP$!3:ewW!prf! QF17$$\"33++D\"o7Tv$FP$!3ku9$eu6$\\dF17$$\"3?LLL$Q*o]RFP$!3(3plbvSmB(F 17$$\"3m++D\"=lj;%FP$!3ivrBn3'fa)F17$$\"3S++vV&R4hG(*F17$$\"3CML$e9Ege%FP$!31\"HW$[$o-#**F17$ $\"3hL3FW;ANYFP$!39FK4$yS-(**F17$$\"3'QL3F9UV&f@v**F17$$ \"3/+](=7O*))[FP$!3t'*RX0*fX%)*F17$$\"3emm;/T1&*\\FP$!3-8VK[r7.'*F17$$ \"3Vm;/^7I0^FP$!3yAnMw#zzB*F17$$\"3=nm\"zRQb@&FP$!3e`.(*3Iog()F17$$\"3 :++v=>Y2aFP$!3Ys&>3\"*p+o(F17$$\"3Znm;zXu9cFP$!3[e$[XTIw>'F17$$\"3yLLe 9i\"=s&FP$!3-OkE/nXB`F17$$\"34+++]y))GeFP$!3]kkp&Q6$)Q%F17$$\"3k++Dclj LfFP$!3@f)\\\\\")QZU$F17$$\"3H++]i_QQgFP$!3S^C@eLiBCF17$$\"3U+](=-N(Rh FP$!3bg=t\\!)eH9F17$$\"3b++D\"y%3TiFP$!3YAva:!4)3UF\\t7$$\"3G+]P4kh`jF P$\"3!R40^s)GPqF\\t7$$\"3+++]P![hY'FP$\"3XJ%4'pkV>=F17$$\"3KmmT5FEnlFP $\"3+L>G5&>F!GF17$$\"3iKLL$Qx$omFP$\"3CT&opXrtv$F17$$\"3Y+++v.I%)oFP$ \"3Wf1etUibcF17$$\"3?mm\"zpe*zqFP$\"3]yt\"GgV5:(F17$$\"3;,++D\\'QH(FP$ \"3#39p/6J>Z)F17$$\"3%HL$e9S8&\\(FP$\"3)*e%p:c@IO*F17$$\"3%om;/6E.g(FP $\"3G#GQ,f:+o*F17$$\"3s++D1#=bq(FP$\"3mi/mI`***))*F17$$\"3yL3xc/%pv(FP $\"3-&*Q\"z)>&H&**F17$$\"3#om\"H2FO3yFP$\"37Rn1sjf*)**F17$$\"3')*\\7y& \\yfyFP$\"33dZj2;$)****F17$$\"3\"HLL$3s?6zFP$\"35k:3O1j$)**F17$$\"3!*) \\i!R:/lzFP$\"3]=Q%4&=RQ**F17$$\"3yl;zpe()=!)FP$\"3)p4G%=sNk)*F17$$\"3 mK3_+-rs!)FP$\"31/@4\\7uh(*F17$$\"3a***\\7`Wl7)FP$\"3Ntx1m7%3j*F17$$\" 3cL$e*[ACI#)FP$\"3K&3#QS:X+$*F17$$\"3enmmm*RRL)FP$\"35TM/J;9q))F17$$\" 3%zmmTvJga)FP$\"3%zM2T<%R*p(F17$$\"3]MLe9tOc()FP$\"37=j(GL%R(>'F17$$\" 3oo;H#e0I&))FP$\"3kJvTvOB6aF17$$\"31,++]Qk\\*)FP$\"3#*>#pz1xXd%F17$$\" 3#)omT5ASg!*FP$\"3#>%*p`)4mjNF17$$\"3![LL3dg6<*FP$\"3A!Q?&pE24DF17$$\" 3K,+voTAq#*FP$\"3ee82`ARR:F17$$\"3%ymmmw(Gp$*FP$\"3]#p#QF@Z7bC;#F17 $F?$\"3Ac4-`%)QjRF17$FD$\"344c^$px,\"eF17$FI$\"3=*)Q7\"Q7PQ(F17$FN$\"3 k^v]SIZn&)F17$FT$\"3f:!f;\")z!R#*F17$Fhn$\"3%HK/$\\,h<%*F17$F\\p$\"3)Q uiJm&Ge*)F17$Ffp$\"3!yNPO-@\\v(F17$F`q$\"3_*=#*\\6D3k&F17$Feq$\"3)f(3W ANehHF17$Fjq$!3smrJjB(=1\"F17$Fdr$!3sfLHR2isiF17$F^s$!37sHMV+!*\\7FP7$ Fhs$!3sW,.&H.b#>FP7$Fct$!3G(*pJfS3vGFP7$F]u$!3MoQG*=7=\"QFP7$Fbu$!3Ee& 3W$))*Q1&FP7$Fgu$!39'H,/WNjK'FP7$F\\v$!3km?p2^M()yFP7$Fav$!3+ev\")[ey` &*FP7$F[w$!3#4[v1eC*[6!#;7$F_x$!3CW+d7]=X8F[`m7$Fix$!3;$p()=9jwd\"F[`m 7$Fcy$!3*z'eDyN)H%=F[`m7$Fhy$!3!en\\iK[X4#F[`m7$F]z$!3A8tq,$R')Q#F[`m7 $Fgz$!3PV\\ZF[`m7$ Fi]l$!3G1Zd9e\"o?&F[`m7$F^^l$!3)y`o7+(*yt&F[`m7$Fc^l$!3'RI<=*)f!oiF[`m 7$F]_l$!3G)3=9'>qaoF[`m7$Fa`l$!3Oi!)\\vw@huF[`m7$Feal$!30!o$Gh01K\")F[ `m7$F_bl$!3Egy!3DuP\"))F[`m7$Fdbl$!3g?@#3P0![&*F[`m7$Fibl$!3\"feup/79. \"Fb[m7$Fccl$!39LfJ;KA06Fb[m7$F]dl$!3#p$y++^$R>\"Fb[m7$Fgdl$!37x:P3%*3 x7Fb[m7$Fael$!3_tLG6B!)p8Fb[m7$F[fl$!3aHzMxLai9Fb[m7$F`fl$!3emmmmmmm:F b[mFajlFcjlFfjlF\\[m7&F'-F(6%7UF+7$F5$\"3ia!=z7'\\i@F17$F?$\"3KXF(zIEV 'RF17$FD$\"3?unP_'oy\"eF17$FI$\"3(oI/'oNmVWNLs!Q&F17$Fhs$\"3.tm.m[2: _F17$Fct$\"3IQJ**=Q=XfF17$F]u$\"3=L`PH\"4,p(F17$Fbu$\"3'*p&zkfs)\\6FP7 $Fgu$\"3/5fA%HFQp\"FP7$F\\v$\"3E8%\\V&4VuDFP7$Fav$\"3yA')4m/_`PFP7$F[w $\"3rAo8cu@:aFP7$F_x$\"3#>'o\">drUS(FP7$Fix$\"3\"GqMD)\\n85F[`m7$Fcy$ \"3%R7l*R\\+t8F[`m7$Fhy$\"39\")yzorLeLO=Fb[m7$Feal$\"3?:tw6 8PS@Fb[m7$F_bl$\"3OjD'3[@)oCFb[m7$Fdbl$\"3ze<&RZFb[m7$Fael$\"3+(*Qfj_Nc`Fb[m7$Ffel$\"3wqU>@;#Hn&Fb[m7$F[fl$ \"3Pweh&4dR+'Fb[m7$$\"3W,]P40O\"*)*FP$\"3/x@LfmPwjFb[m7$F`fl$\"3Unmmmm mmnFb[mFajlFcjlFfjlF\\[m7&F'-F(6%7WF+7$F5$\"39sS`\"3'\\i@F17$F?$\"3=![ PwfAV'RF17$FD$\"3kL)3Q0)zsJ`**F17$Ffp $\"3AgR!f'*3(H&*F17$F`q$\"3xQ$[N(zQV')F17$Feq$\"3/E*4NIG(4vF17$Fjq$\"3 EMm5zmQxeF17$Fdr$\"3Y'QSg`ni!RF17$F^s$\"3._bL0[YNj\"fF17$Fbu$!3eC$Htsr>N*F17$Fgu $!3KAheYxg'G\"FP7$F\\v$!3[8h/*z?%\\I#FP7$F[w$!33FI l%=Z(\\IFP7$F_x$!3yw6L>@*\\&RFP7$Fix$!3u.c<\\JWd_FP7$Fcy$!31)p4-K9()4( FP7$Fhy$!3pP'*GK8kS#*FP7$F]z$!3>m8\"\\R/*G7F[`m7$Fgz$!3)p6#*fgblk\"F[` m7$Fa[l$!3GNCOfcf$=#F[`m7$F[\\l$!3q\\&[*yIU&p\" QF[`m7$F_]l$!3\">G4zD>2#\\F[`m7$Fd]l$!3N_6\\`gB/kF[`m7$Fi]l$!3U\"GpLk( )[2)F[`m7$F^^l$!384T'*e(eD.\"Fb[m7$Fc^l$!3;&)G\\#ee@H\"Fb[m7$F]_l$!3.B ([Whh>i\"Fb[m7$Fa`l$!3[X.,zn'>,#Fb[m7$Feal$!3z@I))Q&GQ]#Fb[m7$F_bl$!3O v!Rk2N82$Fb[m7$Fdbl$!3QD9U[\"yuG45\"F]hn7$F_^n$!3\\vv@z2V+7F]hn7$F`fl $!3O<.Y<.Y28F]hnFajlFcjlFfjlF\\[m7&F'-F(6%7ZF+7$F5$\"3;!ok:3'\\i@F17$F ?$\"3A:,?1EKkRF17$FD$\"3n>/%=V)z&Hw%*f/rT(F17$FN$\"3w%fQp `Q2n)F17$FT$\"3Aeh:VTk\"[*F17$Fhn$\"39&fig(G$))*o@F17$Fhs$ \"3Xtaj8_T;KF\\t7$Fct$!3I*QuEdDo%=F17$F]u$!3_*>*)prl(eNF17$Fbu$!35>Ij2 Cjq_F17$Fgu$!3A`))o>(y^S'F17$F\\v$!3+FR^SCwpqF17$Fav$!3yrhz#Rdc%pF17$F [w$!39,P@`xzqdF17$F_x$!3u#oHXe$>gMF17$Fix$\"3;#oJ!)>g9s(F\\t7$Fcy$\"3i \"=D0oAYq(F17$Fhy$\"3SNYwv%GJl\"FP7$F]z$\"3k])o\"f&**Q*HFP7$Fgz$\"3*=I 7hR+\"R\\FP7$Fa[l$\"3)pGVtFGgd(FP7$F[\\l$\"3G6`5&f?U5\"F[`m7$Fe\\l$\"3 Kn**=!3r'G;F[`m7$F_]l$\"3u?N+;Q9kAF[`m7$Fd]l$\"3Wl$pgcfr;$F[`m7$Fi]l$ \"3:%3cIlaBC%F[`m7$F^^l$\"3E#*)H[bWbx&F[`m7$Fc^l$\"3I'yIn]L#\\wF[`m7$F ]_l$\"39]%op)[7<5Fb[m7$Fa`l$\"3me[UG5BL8Fb[m7$Feal$\"3'G\"fx)f\")fv\"F b[m7$F_bl$\"3!f*p&H7eHF#Fb[m7$Fdbl$\"3GCTt$Q!))QHFb[m7$Fibl$\"3'>\")\\ I'eymPFb[m7$Fccl$\"3#RiDHE9aq%Fb[m7$Fhcl$\"39?2sIo(GL&Fb[m7$F]dl$\"3\" e3S]/lS.'Fb[m7$Fbdl$\"3(oCh9Xs(HnFb[m7$Fgdl$\"3!>;auq1i\\(Fb[m7$F\\el$ \"3=8ygV%)G)R)Fb[m7$Fael$\"3WHm`i@$fR*Fb[m7$Ffel$\"30M^G4d$[/\"F]hn7$F [fl$\"3![Q3o``/;\"F]hn7$$\"3Q+D1k2/P)*FP$\"3xD(e]nnrA\"F]hn7$F_^n$\"3c 7h2/[F(H\"F]hn7$$\"3s+voa-oX**FP$\"3wgDZGW#4P\"F]hn7$F`fl$\"3#=FQ\\gr# [9F]hnFajlFcjlFfjlF\\[m7&F'-F(6%7ZF+F47$F?$\"37\"=(=1EKkRF17$FD$\"3Ina ^I%)zI-;6Q2n)F17$FT$\"3!pHVDHT;[*F17 $Fhn$\"3@i+zhw:I**F17$F\\p$\"3)=)3hZW&f&**F17$Ffp$\"3#\\<$R)*=RP&*F17$ F`q$\"3wk.*\\)3%Qm)F17$Feq$\"3G!>B!f$\\Vb(F17$Fjq$\"3kT*z*)yro(fF17$Fd r$\"3;'))G'\\A09TF17$F^s$\"3;@j%Q>T_8#F17$Fhs$\"37Wp!\\_tLa#F\\t7$Fct$ !3s)\\X,cA>*>F17$F]u$!3&4*QHo%Rh#QF17$Fbu$!3ww\\%GhRNz&F17$Fgu$!38L`1! Q=>K(F17$F\\v$!3:plT(p'z9()F17$Fav$!3G,\\@0sYQ(*F17$F[w$!3An$RufX)\\5F P7$F_x$!3c\"*[5s*Hl4\"FP7$Fix$!3AY%=)R]\"G8\"FP7$Fcy$!3)Gc!*R<-b<\"FP7 $Fhy$!3c\")GrDupU7FP7$F]z$!3iwLQrE5'Q\"FP7$Fgz$!3gN*=HH,An\"FP7$Fa[l$! 3)zNHcQoK<#FP7$F[\\l$!3_)HG]c6k(HFP7$Fe\\l$!3XuZNye97WFP7$F_]l$!3@!*f7 [?@.kFP7$Fd]l$!3;sr6;@%oc*FP7$Fi]l$!3[#))>&*)*z/P\"F[`m7$F^^l$!3(R4w%* e;;,#F[`m7$Fc^l$!3uZx&[E!HcGF[`m7$F]_l$!3q6jk6H#Q2%F[`m7$Fa`l$!3ADW.\" e85q&F[`m7$Feal$!3H6tY6i\"[,)F[`m7$F_bl$!3'RQ4aeb95\"Fb[m7$Fdbl$!3r8gzo0GW&Fb[m7$Fael$!3P*o](HACSiFb[m7$Ffel$!3!*fk45& )f,rFb[m7$F[fl$!3[O4mhc#)p!)Fb[m7$Febo$!3:YQkbeHQ')Fb[m7$F_^n$!3-Cq[FO )HC*Fb[m7$F]co$!3=*3z+&z&f))*Fb[m7$F`fl$!3?+fgL#Rp0\"F]hnFajlFcjlFfjlF \\[m7&F'-F(6%7fnF+F47$F?$\"3+&>(=1EKkRF17$FD$\"3NT(=0V)zF17$F]u$!3)Qv5undZ !QF17$Fbu$!3%*zJ^'4*HYdF17$Fgu$!3>$RBbr(>IsF17$F\\v$!38.JT'o[<`)F17$Fa v$!3)oKK))G5jR*F17$F[w$!3]Yl_0<3h)*F17$F_x$!3!4>xQ;zZ')*F17$Fix$!33Hya =q#GR*F17$Fcy$!3q#yTgZG=O)F17$Fhy$!33947qt.**pF17$F]z$!3\"))GL)e?n4]F1 7$Fgz$!3Z/uhX]'HK#F17$Fa[l$\"39RNz&e#[a5F17$F[\\l$\"3_(\\kSV?&Q_F17$Fe \\l$\"3-K'*f8^bN6FP7$F_]l$\"3U%o5BQke(=FP7$Fd]l$\"35)y%=`XghHFP7$Fi]l$ \"36^BreEKIVFP7$F^^l$\"3JJjB/FGSkFP7$Fc^l$\"3YVcK$3a%o#*FP7$F]_l$\"3Mr ]OP-)zM\"F[`m7$Fa`l$\"3,A9)=*e:N>F[`m7$Feal$\"3,XOi4r*=\"GF[`m7$F_bl$ \"3bw:Tq(f!4SF[`m7$Fdbl$\"3,E'f^B&>GdF[`m7$Fibl$\"3;XfKpXpd\"Fb[m 7$Fbdl$\"3j^K'za!*4%=Fb[m7$Fgdl$\"3+w?!3tpe9#Fb[m7$F\\el$\"3a&)H\")>BQ ADFb[m7$Fael$\"39%=Z'[DqfHFb[m7$$\"3d**\\il(z5j*FP$\"3#y3KN#=1$>$Fb[m7 $Ffel$\"3>\"H71RQMW$Fb[m7$$\"3y,]PMRr$Fb[m7$F[fl$\" 3oWIniP%)**RFb[m7$Febo$\"3*Q?NqoOAL%Fb[m7$F_^n$\"3+ApLrp7!p%Fb[m7$F]co $\"3Iqn*pL*Hv]Fb[m7$F`fl$\"3C6Ew+:l*[&Fb[mFajlFcjlFfjlF\\[m7&F'-F(6%7f nF+F4F^^pFC7$FI$\"3MwP)[c/rT(F17$FN$\"3iF&)e9\"Q2n)F17$FT$\"3'49m2KT;[ *F17$Fhn$\"32\\G\\ly:I**F17$F\\p$\"3#QTZBkbf&**F17$Ffp$\"3o#)>.LvRP&*F 17$F`q$\"3G\"G\"fRU'Qm)F17$Feq$\"3Oe6UavF17$Fjq$\"3=el#*4^5xfF17$Fd r$\"3XG)RHDNZ6%F17$F^s$\"3:#>n!Q!=q8#F17$Fhs$\"3!f:O(Q4K$e#F\\t7$Fct$! 3?i]#4g\"4#)>F17$F]u$!3.#zg\\)y-1QF17$Fbu$!3Amw]m%p%\\dF17$Fgu$!3,;DS@ Z,PsF17$F\\v$!3ktr(RVzoa)F17$Fav$!3#RN31+]uU*F17$F[w$!3)QW`2::\\#**F17 $F_x$!3%\\mJbieY)**F17$Fix$!3(G*Q&***zwA'*F17$Fcy$!37w(pu`d8!))F17$Fhy $!33QJU>'H[v(F17$F]z$!3zEn)R-W%QjF17$Fgz$!35ScM/$*e_YF17$Fa[l$!3%oR,-0 J?!HF17$F[\\l$!3cEQC_]#QD\"F17$Fe\\l$\"3s\">So^)f+JF\\t7$F_]l$\"3g(>b8 J&zF7F17$Fd]l$\"3%4KLSzu8M\"F17$Fi]l$\"3k>G;hg1WDF\\t7$F^^l$!3q?&*>K\" )4uGF17$Fc^l$!3K`(o`Z-!=&)F17$F]_l$!3ii7rsLq\\=FP7$Fa`l$!3;)GJ9/WoS$FP 7$Feal$!3`;c89)Q)GfFP7$F_bl$!3'\\(4(RN/zf*FP7$Fdbl$!3/pI)>HHc^\"F[`m7$ Fibl$!3_$R;V:&fBBF[`m7$Fccl$!3!Hvk#\\$\\?Q$F[`m7$Fhcl$!3#*>6'*=?8oTF[` m7$F]dl$!36v%etW3q6&F[`m7$Fbdl$!3u!\\&fR!H*GhF[`m7$Fgdl$!3tq0]\"F b[m7$Febo$!3!['oTeeaW;Fb[m7$F_^n$!3uS(H5558!=Fb[m7$F]co$!3W5b2-*>>(>Fb [m7$F`fl$!3c0s0JA^d@Fb[mFajlFcjlFfjlF\\[m7&F'-F(6%7enF+F4F^^pFCFH7$FN$ \"3!4f)e9\"Q2n)F17$FT$\"3mYtw?8k\"[*F17$Fhn$\"38&))3b'y:I**F17$F\\p$\" 3%p=5Dkbf&**F17$Ffp$\"3yU]FMvRP&*F17$F`q$\"3m!4:wCkQm)F17$Feq$\"3Kx>s( *>UavF17$Fjq$\"3Ahcju_5xfF17$Fdr$\"3(osF)Gft9TF17$F^s$\"3ReC'eT?q8#F17 $Fhs$\"3-MixV+R$e#F\\t7$Fct$!33s>L\\*o?)>F17$F]u$!3e2X%pipf!QF17$Fbu$! 3WjE\\(>0$\\dF17$Fgu$!3\"oS.paBmB(F17$F\\v$!3I)G4U\"Q\"fa)F17$Fav$!3;O 2rl>ED%*F17$F[w$!3/%oU*3%z*>**F17$F_x$!3-;\"R\"Rndu**F17$Fix$!3k#QBYUv ;g*F17$Fcy$!3%Q]\"yc;Sd()F17$Fhy$!3'Q![0i,etwF17$F]z$!3u[>pLmV%='F17$F gz$!3-xP1'R#fhVF17$Fa[l$!3S9U1uJlrBF17$F[\\l$!3:$y\\eLN5C$F\\t7$Fe\\l$ \"3_.iS@:%z+#F17$F_]l$\"3M\"z@TM$y$4%F17$Fd]l$\"3C!4`+#e)zE'F17$Fi]l$ \"3aQAG6^q(=)F17$F^^l$\"3^Xer3#f%G5FP7$Fc^l$\"3=SgK%Ro$Q7FP7$F]_l$\"3q BT')4=e'\\\"FP7$Fa`l$\"3D7dJPW')H=FP7$Feal$\"3s?,yI+'yL#FP7$F_bl$\"3=e PF')o$**3$FP7$Fdbl$\"31A[F/S3%H%FP7$Fibl$\"3-TX[QWDqhFP7$Fccl$\"3H9@!o *41,))FP7$F]dl$\"3:4?c3IoT8F[`m7$Fbdl$\"3B$zr&)[%*Ri\"F[`m7$Fgdl$\"3/S Tfj1gm>F[`m7$F\\el$\"3'3)y%*=+b6CF[`m7$Fael$\"3?m(yA`N_&HF[`m7$F_gp$\" 3/OhsvE1cKF[`m7$Ffel$\"3#f?Q'==]'e$F[`m7$Fggp$\"3KxiU8'Q#\\RF[`m7$F[fl $\"3saL&)*p$=ZVF[`m7$Febo$\"3u)*RVXgo<[F[`m7$F_^n$\"3*yr/(pVuO`F[`m7$F ]co$\"3-\"3_)4o)*3fF[`m7$F`fl$\"3H\\J)GB]%RlF[`mFajlFcjlFfjlF\\[m7&F'- F(6%7enF+F4F^^pFCFHFdcq7$FT$\"37Ttw?8k\"[*F1Fgn7$F\\p$\"3+o)3Dkbf&**F1 7$Ffp$\"3d[AEMvRP&*F17$F`q$\"3[[A^ZU'Qm)F17$Feq$\"372\"zr*>UavF17$Fjq$ \"3[PLir_5xfF17$Fdr$\"3kQIB9ft9TF17$F^s$\"3XV%GjN?q8#F17$Fhs$\"3Uih<#3 )Q$e#F\\t7$Fct$!3G3Qp)op?)>F17$F]u$!3u/^/_<(f!QF17$Fbu$!3'oz)zm>J\\dF1 7$Fgu$!3UT*R!*RTmB(F17$F\\v$!3AJ%Q`#G'fa)F17$Fav$!31OnVSUQD%*F17$F[w$! 3:ogPPHG?**F17$F_x$!3M#\\'F17$Fgz$!3qU2!fV,0R%F17$F a[l$!3()3aL\\!*>GCF17$F[\\l$!3?n:X8e\"**H%F\\t7$Fe\\l$\"3hk\\r!pn.!=F1 7$F_]l$\"3\"H!GA'3W6s$F17$Fd]l$\"3)*H&HB8n_e&F17$Fi]l$\"3jyw%>kZ\\-(F1 7$F^^l$\"34%ykv!omP#)F17$Fc^l$\"35m\"H7(fO]*)F17$F]_l$\"3M\\o(G:%Hc\"* F17$Fa`l$\"3G(\\'\\!>%G:()F17$Feal$\"3#*G)G5pxaT(F17$F_bl$\"3!obeISdC8 &F17$Fdbl$\"3nfbP]BC/9F17$Fibl$!3xJO8*yySA%F17$Fccl$!3QVQ7)zs3=\"FP7$F ]dl$!3)R=_\"\\8VnCFP7$Fbdl$!3H2$**\\zT9C$FP7$Fgdl$!3m!*G>qoJvTFP7$F\\e l$!3kR^Je;?&Q&FP7$Fael$!3Y*p\")p#z.loFP7$F_gp$!3GuN%Q1Zgo(FP7$Ffel$!3q O*G4)=J!f)FP7$Fggp$!3m1!)QS3G'e*FP7$F[fl$!3Gt*y!4GKo5F[`m7$Febo$!3;Soq kci)>\"F[`m7$F_^n$!3F:1r'obJM\"F[`m7$F]co$!3xl8AkbW.:F[`m7$F`fl$!3cz6u 8]=\"o\"F[`mFajlFcjlFfjlF\\[m7&F'-F(6%7eoF+F4F^^pFCFHFdcqFd]r7$FY$\"3i IvJ`fA89!)*F17$Ffp$\"3EcBEMvRP&*F17$F[q$\"3_jFB$p@Z:*F17$F`q$\"33AL^ZU' Qm)F17$Feq$\"3Gde=(*>UavF17$Fjq$\"3G)>o;F0r(fF17$Fdr$\"3Zf'*[9ft9TF17$ F^s$\"35.Aad.-P@F17$Fhs$\"3eUo^F\")Q$e#F\\t7$Fct$!3]qC/p'p?)>F17$F]u$! 3:)>B*)orf!QF17$Fbu$!3o10lRk0hG(*F17$F[w$!3A=;4QxE?**F17$Few $!37'>gO9(3'***F17$F_x$!3'\\:O_N9_(**F17$Fdx$!3L**>vgsbW)*F17$Fix$!3n$ Qg;#G7.'*F17$F^y$!3A<)\\49szB*F17$Fcy$!3;.UZn8ng()F17$Fhy$!3WH;\")pK/! o(F17$F]z$!3A%euIOnv>'F17$Fgz$!35>E\"o$G;)Q%F17$Fa[l$!3x55cY+HBCF17$F[ \\l$!3Nq)oEQ90(fgPF17$Fd ]l$\"3)*[4!fR1Bm&F17$Fi]l$\"3o6-tl%>P;(F17$F^^l$\"35:t`yi%p\\)F17$Fc^l $\"3]k7@w))e4%*F17$Fh^l$\"3-\"yPIh@Su*F17$F]_l$\"3))o(o*p6ex**F17$Fg_l $\"3`zHI6<\"3,\"FP7$Fa`l$\"3XBBB8pL95FP7$F[al$\"3K/0MCp<35FP7$Feal$\"3 $=()Q%zi^D**F17$Fjal$\"3mMG=Dk(Qp*F17$F_bl$\"3A!y]JtzMR*F17$Fdbl$\"3K+ +%*\\i7F')F17$Fibl$\"3T\\+vQAH6yF17$F^cl$\"33)>h#>o@$[(F17$Fccl$\"3q`p %R\"[KFsF17$$\"3%\\L3-.B]+*FP$\"3bGOX+F*y7(F17$Fhcl$\"3!=&o)3UKJ2(F17$ $\"3q-]i!R\"y:\"*FP$\"3)=nG!4=NsqF17$F]dl$\"3()eORT9)e8(F17$$\"3$*FP$\"3[:gN fIw;xF17$Fgdl$\"3])ffGV9s2)F17$F\\el$\"3Y+uZiw(\\?*F17$Fael$\"3Yc;***F1FdgrFggrFepFj p7$F`q$\"3?8L^ZU'Qm)F17$Feq$\"3M(y&=(*>UavF17$Fjq$\"3EWwmr_5xfF17$Fdr$ \"399f[9ft9TF17$F^s$\"39j;_d.-P@F17$Fcs$\"3H?'H)*QxI?\"F17$Fhs$\"3m_pk E\")Q$e#F\\t7$F^t$!33y;G#HiOn)F\\t7$Fct$!3K2gZp'p?)>F17$Fht$!3\\SyR-hD 2HF17$F]u$!3$)[%z/prf!QF17$Fbu$!3c_r(fu6$\\dF17$Fgu$!3y3k3c2kOsF17$F\\ v$!3i3*)>p3'fa)F17$Fav$!3U4`['))y`U*F17$Ffv$!3yo`(4$4hG(*F17$F[w$!39TA %)p$o-#**F17$F`w$!3YPd963Cq**F17$Few$!3)ffeI<)3'***F17$Fjw$!33'*f-8zu( ***F17$F_x$!3kp'Rc,;_(**F17$Fdx$!3\"3q09,gX%)*F17$Fix$!3R%R4$Ht7.'*F17 $F^y$!3]75A)ezzB*F17$Fcy$!3?(>Z,a$og()F17$Fhy$!3o#=5\"=72!o(F17$F]z$!3 )ob0?vLw>'F17$Fgz$!3c`Ilk)>$)Q%F17$Fa[l$!3;E`u'yVOU#F17$Ff[l$!3&*3<_o* ='H9F17$F[\\l$!3l&f\\]yt#4UF\\t7$F`\\l$\"3&GX%[!fjl.(F\\t7$Fe\\l$\"3\" Q]&R@UK>=F17$Fj\\l$\"3'Q-BWOaD!GF17$F_]l$\"3a^n:F*Hrv$F17$Fd]l$\"3!R=` +l!4bcF17$Fi]l$\"3mBPyHB(*\\rF17$F^^l$\"3o&>Mo#eop%)F17$Fc^l$\"3)*>')) )>^ge$*F17$Fh^l$\"3k/LZP:xt'*F17$F]_l$\"3szrjv(47))*F17$Fb_l$\"3=q_6B \")eU**F17$Fg_l$\"3!4iwv:%Qx**F17$F\\`l$\"3S^cy\"3da)**F17$Fa`l$\"3iM4 'z8Hn'**F17$F[al$\"3(z\"3\"f09UF17$Fhcl$\"3c$3+W FGY2$F17$F]dl$\"3'*H\\6_1@[=F17$Fbdl$\"3Ic?\")y#R'pnF\\t7$Fgdl$!3OpZ_G pBwcF\\t7$F\\el$!3'3C?I&*>D)>F17$Fael$!38f!HkNn1]$F17$Ffel$!3[2-gQVKo] F17$F[fl$!3?H5AqOwsnF17$Febo$!3s/v8QUMcxF17$F_^n$!3aJ;3^JM&z)F17$F]co$ !3-KW%**fms*)*F17$F`fl$!3@<7lW#zq5\"FPFajlFcjlFfjlF\\[m" 1 2 0 1 10 0 2 9 1 4 2 1.000000 45.000000 45.000000 0 0 "Curve 1" "Curve 2" }} {TEXT -1 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 88 "Die restlichen, n icht berechneten Ableitungen werden zu einem Restglied zusammengefasst ." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 64 "Dieses lautet f\374r das Restglied ( n+1)-ter Ordnung nach LAGRANGE:" }}{PARA 261 "" 0 "" {XPPEDIT 18 0 "R[ n+1];" "6#&%\"RG6#,&%\"nG\"\"\"F(F(" }{TEXT -1 6 "(x) = " }{XPPEDIT 18 0 "f^(n+1)*(x[0]+a*(x-x[0]))/(n+1)!;" "6#*()%\"fG,&%\"nG\"\"\"F(F(F (,&&%\"xG6#\"\"!F(*&%\"aGF(,&F+F(&F+6#F-!\"\"F(F(F(-%*factorialG6#,&F' F(F(F(F3" }{TEXT -1 1 " " }{XPPEDIT 18 0 "(x-x[0])^n+1;" "6#,&),&%\"xG \"\"\"&F&6#\"\"!!\"\"%\"nGF'F'F'" }{TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 49 "wobei a eine beliebige Zahl zwischen 0 und 1 ist." }}} {EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 46 "Die TAYLORsche Formel lautet volls t\344ndig also:" }}{PARA 260 "" 0 "" {XPPEDIT 18 0 "T[n];" "6#&%\"TG6# %\"nG" }{TEXT -1 6 "(x) = " }{XPPEDIT 18 0 "Sum(fc(x[0])/c!,c = 0 .. n );" "6#-%$SumG6$*&-%#fcG6#&%\"xG6#\"\"!\"\"\"-%*factorialG6#%\"cG!\"\" /F2;F-%\"nG" }{TEXT -1 1 " " }{XPPEDIT 18 0 "(x-x[0])^c;" "6#),&%\"xG \"\"\"&F%6#\"\"!!\"\"%\"cG" }{TEXT -1 6 " + " }{XPPEDIT 18 0 "f^(n+ 1)*(x[0]+a*(x-x[0]))/(n+1)!;" "6#*()%\"fG,&%\"nG\"\"\"F(F(F(,&&%\"xG6# \"\"!F(*&%\"aGF(,&F+F(&F+6#F-!\"\"F(F(F(-%*factorialG6#,&F'F(F(F(F3" } {TEXT -1 1 " " }{XPPEDIT 18 0 "(x-x[0])^n+1;" "6#,&),&%\"xG\"\"\"&F&6# \"\"!!\"\"%\"nGF'F'F'" }{TEXT -1 0 "" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 " " }}{SECT 1 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 32 "Anwendung der TAYLORschen For mel" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 8 "restart:" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 39 "Nun soll mit Hilfe von TAYLOR der Wert " }{TEXT 259 7 "sin 2.5" }{TEXT -1 223 " berechnet werden. Uns ist kein \+ Mittel bekannt, mit dem man die Funktionswerte von trigonometrischen F unktionen bestimmen kann. Deshalb m\374ssen wir versuchen, die Sinus-F unktion mit einer ganzrationalen Funktion anzun\344hern. " }}{PARA 0 " " 0 "" {TEXT -1 276 "Da wir aber auch bei der TAYLOR-Entwicklung einer Funktion Funktionswerte ausrechnen m\374ssen, m\374ssen wir als Entwi cklungsstelle einen Wert w\344hlen, an dem diese bekannt sind, und der m\366glichst nahe an dem gesuchten Wert liegt. Wir wissen, dass die S inus-Funktion an den Stellen " }{XPPEDIT 18 0 "Pi;" "6#%#PiG" }{TEXT -1 111 " * k den Wert 0 und die Cosinus-Funktion den Wert 1 oder -1 an nimmt. Deshalb w\344hlen wir die Entwicklungsstelle " }{XPPEDIT 18 0 " Pi;" "6#%#PiG" }{TEXT -1 12 " (~3.14159)." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 221 "Die Sinus-Funktion ist Punktsymmetrisch zum Mittelpunkt. Das bede utet, dass sie nur von einer ungeraden ganzrationalen Funktion beschri eben werden kann. Eine Funktion 5.Grades d\374rfte ausreichend genaue \+ Ergebnisse liefern." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 53 "Wir versuchen also , eine Funktion in der Form t(x) = " }{XPPEDIT 18 0 "a[5]*x^5+a[3]*x^3 +a[1]*x;" "6#,(*&&%\"aG6#\"\"&\"\"\"*$%\"xGF(F)F)*&&F&6#\"\"$F)*$F+F/F )F)*&&F&6#F)F)F+F)F)" }{TEXT -1 25 " aus der Funktion f(x) = " } {XPPEDIT 18 0 "sin(x);" "6#-%$sinG6#%\"xG" }{TEXT -1 15 " zu entwickel n." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 42 "Die TAYLOR-Funktion hat demnach die Formel" }}{PARA 256 "" 0 "" {TEXT -1 7 "T(x) = " }{XPPEDIT 18 0 "f[1] (Pi)/1!;" "6#*&-&%\"fG6#\"\"\"6#%#PiGF(-%*factorialG6#F(!\"\"" }{TEXT -1 2 " (" }{XPPEDIT 18 0 "x-Pi;" "6#,&%\"xG\"\"\"%#PiG!\"\"" }{TEXT -1 4 ") + " }{XPPEDIT 18 0 "f[3](Pi)/3!;" "6#*&-&%\"fG6#\"\"$6#%#PiG\" \"\"-%*factorialG6#F(!\"\"" }{TEXT -1 1 " " }{XPPEDIT 18 0 "(x-Pi)^3; " "6#*$,&%\"xG\"\"\"%#PiG!\"\"\"\"$" }{TEXT -1 3 " + " }{XPPEDIT 18 0 "f[5](Pi)/5!;" "6#*&-&%\"fG6#\"\"&6#%#PiG\"\"\"-%*factorialG6#F(!\"\" " }{TEXT -1 1 " " }{XPPEDIT 18 0 "(x-Pi)^5;" "6#*$,&%\"xG\"\"\"%#PiG! \"\"\"\"&" }{TEXT -1 1 "." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 13 "f:=x->sin(x);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 37 "f1:=D( f); f3:=D(D(f1)); f5:=D(D(f3));" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 69 "T:=unapply(f1(Pi)/1!*(x-Pi)+f3(Pi)/3!*(x-Pi)^3+f5(Pi)/5!*(x-Pi )^5,x);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 108 "Diese Funktion m\374s ste in einem kleinen Bereich der Funktion sin(x) entsprechen. Zur Kont rolle ein Schaubild:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 57 "plo t([f(x),T(x)],x=-1..2*Pi+1,-1.5..1.5,thickness=[1,2]);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 60 "Sieht gut aus. Und nun die entsprechenden Werte f\374r x = 2.5:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 29 "e valf(T(2.5)); evalf(f(2.5));" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 189 " Die Werte stimmen also gut \374berein. Um eine gr\366\337ere Genauigke it zu erreichen, m\374sste man den Grad der Funktion T(x) einfach noch h\366her w\344hlen. So kann man den Wert beliebig genau berechnen." } }}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 66 "Dieses Vorgehen ist mit jeder be liebigen Ausgangsfunktion m\366glich." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{SECT 1 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 69 "Programm zur Berechnung der TAYLOR-Funktion einer beliebigen Funktion" }}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 159 "Ich habe \+ noch ein kleines Programm geschrieben, mit dem man das TAYLOR-Polynom \+ einer Funktion berechnen kann.\nAufgerufen wird das Programm mit TAYLO Rsche(fkt, " }{XPPEDIT 18 0 "x[0];" "6#&%\"xG6#\"\"!" }{TEXT -1 125 ", n). Das Programm gibt den Funktionstherm der TAYLOR-Funktion aus und \+ stellt die Funktion zus\344tzlich als T(x) zur Verf\374gung." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 10 "Dabei ist " }{TEXT 260 3 "fkt" }{TEXT -1 21 " d er Funktionstherm, " }{XPPEDIT 18 0 "x[0];" "6#&%\"xG6#\"\"!" }{TEXT -1 28 " die Entwicklungsstelle und " }{TEXT 261 1 "n" }{TEXT -1 42 " d er Grad der gew\374nschten TAYLOR-Funktion." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 21 "restart: with(plots):" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 " " {MPLTEXT 1 0 13 "f:=x->sin(x);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {XPPEDIT 19 1 "TAYLORsche:=proc(fkt,x0,n)\nlocal Ablei, c, xu, xo;\ngl obal T;\nT[0]:=unapply(fkt,x)(x0):\nAblei[0]:=unapply(fkt,x):\nfor c f rom 1 to n do\nAblei[c]:=D(Ablei[c-1]);\nT[c]:=T[c-1]+((Ablei[c](x0)/c !)*(x-x0)^c);\nod;\nT:=unapply(T[n],x);\nT(x);\nend proc:" "6#>%+TAYLO RscheGf*6%%$fktG%#x0G%\"nG7&%&AbleiG%\"cG%#xuG%#xoG6\"F/C'>&%\"TG6#\" \"!--%(unapplyG6$F'%\"xG6#F(>&F+6#F5-F86$F'F:?(F,\"\"\"FBF)%%trueGC$>& F+6#F,-%\"DG6#&F+6#,&F,FBFB!\"\">&F36#F,,&&F36#,&F,FBFBFNFB*(-&F+6#F,6 #F(FB-%*factorialG6#F,FN),&F:FBF(FNF,FBFB>F3-F86$&F36#F)F:-F36#F:F/6#F 3F/" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 22 "TAYLORsche(f(x),0,23 );" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{SECT 1 {PARA 5 " " 0 "" {TEXT -1 33 "Berechnung der Animation von oben" }}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "animationsberechnung" {TEXT -1 78 "Im Folgenden noch den Berec hnungs-Algorythmus f\374r die oben gezeigte Animation:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 114 "for a from 1 to 12 do\nTAYLORsche( f(x),0,(a*2-1)):\npl1[a]:=plot([f(x),T(x)],x=0..10,-1.5..1.5,thickness =[1,2]):\nod:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 45 "display(se q(pl1[i],i=1..12),insequence=true);" }}}}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 " " }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 256 "" 0 "" {TEXT -1 90 "(c) Friedemann L \366w 2002\nbei Fragen, Kritik oder Anregungen wenden Sie sich bitte a n mich: " }{URLLINK 17 "friede.l@gmx.de" 4 "mailto:friede.l@gmx.de" " " }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}}{MARK "2 4 0" 0 } {VIEWOPTS 1 1 0 1 1 1803 1 1 1 1 }{PAGENUMBERS 0 1 2 33 1 1 }