{VERSION 5 0 "IBM INTEL NT" "5.0" } {USTYLETAB {CSTYLE "Maple Input" -1 0 "Courier" 0 1 255 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "2D Math" -1 2 "Times" 0 1 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "2D Comment" 2 18 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 } {PSTYLE "Normal" -1 0 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 }0 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "Heading 1" 0 3 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 1 18 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 }1 0 0 0 8 4 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "Heading 2" 3 4 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 1 14 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 }0 0 0 -1 8 2 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "Headi ng 3" 4 5 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 1 12 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 }0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 }} {SECT 0 {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{SECT 1 {PARA 3 "" 0 "" {TEXT -1 6 "Quelle" }}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 17 "Upda te auf Maple8" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 24 "14.05.2004 Manuel M\374l ler" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{SECT 1 {PARA 3 "" 0 "" {TEXT -1 9 "Tangente n" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{SECT 1 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 25 "Definition einer Tangente" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 " " {MPLTEXT 1 0 22 "restart:with(linalg):\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 182 "Eine Tangente steht senkrecht auf dem Vektor des Ber\374 hrpunktes vom Mittelpunkt aus. Die L\344nge des Schattens von einem be liebigen Punkt x der Tangente auf diesem Vektor hat die L\344nge " } {XPPEDIT 18 0 "r^2;" "6#*$%\"rG\"\"#" }{TEXT -1 1 "." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 64 "`Skalarprodukt von (x-m) mit (b-m) ist de r Radius ins Quadrat`;\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 12 "mit F ormeln:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 28 "'dotprod'((x-m), (b-m))=r^2;\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 39 "Da alle vier Kom ponenten Vektoren sind:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 83 " sort(dotprod(([x,y]-[m[x],m[y]]),([b[x],b[y]]-[m[x],m[y]]),orthogonal) =r^2,[x,y]);\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{SECT 0 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 39 "Bedingung, da\337 eine Gerade Tangente ist" }}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 73 "\334berpr\374fen, ob eine Gerade (in Para meterform) Tangente eines Kreises ist:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 9 "g=p+t*a;\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 48 "`Tangentenbedingung: ` (p*a)^2-a^2*(p^2-r^2)=0;\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}} {SECT 0 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 54 "Bsp: Tangente an Kreis mit geg. M , r und Ber\374hrpunkt B" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 22 " restart:with(linalg):\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 34 " m:=[4,-1]; r:=sqrt(5); b:=[6,-2];\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 54 "Diese Werte mu\337 man einfach in die Tangentenbedingung " } {XPPEDIT 18 0 "(x-m)*(b-m) = r^2;" "6#/*&,&%\"xG\"\"\"%\"mG!\"\"F',&% \"bGF'F(F)F'*$%\"rG\"\"#" }{TEXT -1 11 " einsetzen:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 40 "gl:=sort(dotprod(([x,y]-m),(b-m))=r^2);\n " }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 29 "Das ist die Geradengleichung: " }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 31 "tangente:=lhs(gl)+9=rhs (gl)+9;\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 98 "zum Zeichnen mu\337 \+ man diese Gleichung nach y aufl\366sen und die Punkte in geomettry-Pun kte umwandeln:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 25 "tang:=sol ve(tangente,y);\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 27 "with(g eometry):with(plots):" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 50 "po int(M,m), circle(K,[M,r],[x,y],'centername'=M);\n" }}}{EXCHG {PARA 0 " > " 0 "" {MPLTEXT 1 0 15 "kreis:=draw(K):" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 " " {MPLTEXT 1 0 43 "tange:=plot(tang,x=0..9,-4..2,color=green):" }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 54 "punkt1:=plot([b],style=point ,symbol=cross,color=blue):" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 40 "punkt2:=draw(M,symbol=cross,color=blue):" }}}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 79 "display(kreis,tange,punkt1,punkt2,title=`Kreis mit Ta ngente an Ber\374hrpunkt B`);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{SECT 0 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 77 "Bsp.: Wie ist der Radiu s r zu w\344hlen, da\337 Gerade g Tangente ist? Ber\374hrpunkt?" }} {EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 34 "geg.: Mittelpunkt M(2/3), Gerade g " }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 22 "restart:with(linalg):\n " }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 10 "m:=[2,3];\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 18 "g:=[1,0]+s*[2,1];\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 249 "Um den Radius zu bekommen, mu\337 man de n Abstand zwischen dem Mittelpunkt und der Tangente berechnen. Dazu br aucht man den Normalenvektor der Tangente. Dieser ist der umgekehrte R ichtungsvektor, wobei der hintere Wert dann ein Minus-Vorzeichen erh \344lt." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 17 "normale:=[1,-2]; \n" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 36 "n0:=evalm(normale/nor m(normale,2));\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 186 "Jetzt brauch t man f\374r die Abstandsberechnung noch einen Punkt der Geraden, also den Aufpunkt, und den Punkt dessen Abstand man wissen m\366chte, in u nserem Fall den Mittelpunkt des Kreises." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 9 "Q:=[1,0]:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 28 "abstand:=dotprod(n0,(Q-m));\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 31 "Das ist jetzt also der Abstand:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 17 "Radius:=abstand;\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 11 "r:=Radius;\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 70 " Berechnung des Ber\374hrpunktes: Einsetzen der Tangente (Gerade) in Kr eis" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 3 "g;\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 77 "`kreis=`([x,y]-m)^2=r^2;\nkreis:=do tprod(([x,y]-m),([x,y]-m),orthogonal)=r^2;\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 " " {TEXT -1 26 "x- und y-Wert der Geraden:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 " " {MPLTEXT 1 0 16 "x:=1+2*s;\ny:=s;\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 36 "Die Kreisgleichung hei\337t jetzt also:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 7 "kreis;\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 35 "Die Kreisgleichung nach s aufl\366sen:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 20 "s1:=solve(kreis,s);\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 " " {TEXT -1 48 "Diesen s-Wert in die Geradengleichung einsetzen:" }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 17 "subs(s=s1[1],g);\n" }}} {EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 51 "Das ist der Ber\374hrpunkt der Tan gente mit der Kugel." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }} }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{SECT 0 {PARA 4 "" 0 " " {TEXT -1 31 "Tangente von Punkt P an Kreis K" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{SECT 0 {PARA 5 "" 0 "" {TEXT -1 7 "1. Bsp. " }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 50 "restart:with(linalg):wit h(plottools):with(plots):\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 27 "m:=[2,3]; r:=5; p:=[14,4];\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 30 "k:=(x-m[1])^2+(y-m[2])^2=r^2;\n" }}}{EXCHG {PARA 0 " " 0 "" {TEXT -1 649 "Gegeben ist ein Kreis k und ein Punkt P, der nich t auf dem Kreis liegt. Lege Tangenten an den Kreis: M\366glich sind zw ei Tangenten, eine oben, die andere unten am Kreis, falls der Punkt re chts oder links vom Kreis liegt. Tangenten kann ich konstruieren, wenn ich die Ber\374hrpunkte habe. Diese bekomme ich, indem man folgendes \+ konstruiert: Man berechnet den Mittelpunkt der Strecke MP (Koordinaten addieren und dann halbieren). Von diesem neuen Mittelpunkt Ms zieht m an den Thaleskreis mit dem Durchmesser der Strecke MP. Der Thaleskreis schneidet den Kreis in den Ber\374hrpunkten. Die zwei Tangenten kann \+ ich dann \374ber die Zwei-Punkt-Formel konstruieren." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 80 "Z uerst zeichnen wir diese Anordnung einmal, um uns die Aufgabe zu verde utlichen." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 31 "kreis:=circle( m,r,color=green):" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 54 "mittel :=plot(\{m\},style=point,symbol=cross,color=blue):" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 53 "punkt:=plot(\{p\},style=point,symbol=cross, color=blue):" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 69 "display(kre is,mittel,punkt,view=[-4..15,-4..8],scaling=constrained);\n" }}} {EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 44 "Berechnung des Mittelpunktes der S trecke MP:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 21 "nmpx:=(m[1]+p [1])/2;\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 21 "nmpy:=(m[2]+p[ 2])/2;\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 17 "nm:=[nmpx,nmpy] ;\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 211 "Das sind die Koordinaten \+ des Mittelpunktes der Strecke MP. Um diesen Punkt ziehen wir jetzt den Thaleskreis, wobei der Durchmesser die L\344nge der Strecke MP betr \344gt, der Radius also die H\344lfte dieser Strecke ist." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 57 "durch:=sqrt((p[1]-m[1])^2+(p[2]-m[2 ])^2);\nnr:=1/2*durch;\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 32 "nk:=(x-nmpx)^2+(y-nmpy)^2=nr^2;\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 46 "strecke:=plot(\{p,m\},style=line,color=magenta):" }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 34 "kreis2:=circle(nm,nr,color=g reen):" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 56 "mittel2:=plot(\{n m\},style=point,symbol=cross,color=blue):" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 " " {MPLTEXT 1 0 93 "display(strecke,kreis,kreis2,mittel,mittel2,punkt,v iew=[-4..15,-4..10],scaling=constrained);\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 151 "Jetzt m \374ssen wir die beiden Kreise miteinander schneiden, um die Schnittpu nkte und somit die Ber\374hrpunkte der Tangenten mit dem Kreis herausz ubekommen." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 16 "gl1:=expand(k );\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 17 "gl2:=expand(nk);\n " }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 29 "LSG:=solve(\{gl1,gl2\}, \{x,y\});\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 135 "### WARNING : allvalues now returns a list of symbolic values instead of a sequenc e of lists of numeric values\nschnipu:=allvalues(LSG);\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 206 "Das sind jetzt also die beiden Schnittpu nkte der beiden Kreise. Jetzt m\374ssen wir nur noch die Tangenten dur ch Punkt P und jeweils einen dieser Schnittpunkte bzw. Ber\374hrpunkt \+ der Tangente an den Kreis legen." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 51 "schnipu1:=[rhs(schnipu[1][2]),rhs(schnipu[1][1])];\n " }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 51 "schnipu2:=[rhs(schnipu[ 2][2]),rhs(schnipu[2][1])];\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 154 "Um die Tangentengleichungen zu bekommen, brauchen wir die Zwei-Punkte -Form, wobei der Punkt P und der berechnete Ber\374hrpunkt die beiden \+ Punkte darstellen." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 67 "`Zwei -Punkte-Form= erster Punkt+s*(zweiter Punkt - erster Punkt)`;\n" }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 46 "tang1:=convert(evalm(p+s*(sc hnipu1-p)),list);\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 46 "tang 2:=convert(evalm(p+s*(schnipu2-p)),list);\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 51 "tang ente1:=plot(\{seq(tang1,s=-5..5)\},color=sienna):" }}}{EXCHG {PARA 0 " > " 0 "" {MPLTEXT 1 0 51 "tangente2:=plot(\{seq(tang2,s=-5..5)\},color =sienna):" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 113 "display(tange nte1,tangente2,strecke,kreis,kreis2,mittel,mittel2,punkt,view=[-4..15, -4..10],scaling=constrained);\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{SECT 0 {PARA 5 "" 0 "" {TEXT -1 7 "2. Bsp." }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 50 "restart:wit h(linalg):with(plottools):with(plots):\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 26 "m:=[0,0]; r:=5; p:=[7,1];\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 " " {TEXT -1 100 "Die Kreisgleichung sieht also folgenderma\337en aus (d a der Ursprung der Mittelpunkt ist, f\344llt m weg):" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 16 "k:=x^2+y^2=r^2;\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 649 "Gegeben ist ein Kreis k und ein Punkt P, der nicht \+ auf dem Kreis liegt. Lege Tangenten an den Kreis: M\366glich sind zwei Tangenten, eine oben, die andere unten am Kreis, falls der Punkt rech ts oder links vom Kreis liegt. Tangenten kann ich konstruieren, wenn i ch die Ber\374hrpunkte habe. Diese bekomme ich, indem man folgendes ko nstruiert: Man berechnet den Mittelpunkt der Strecke MP (Koordinaten a ddieren und dann halbieren). Von diesem neuen Mittelpunkt Ms zieht man den Thaleskreis mit dem Durchmesser der Strecke MP. Der Thaleskreis s chneidet den Kreis in den Ber\374hrpunkten. Die zwei Tangenten kann ic h dann \374ber die Zwei-Punkt-Formel konstruieren." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 80 "Zue rst zeichnen wir diese Anordnung einmal, um uns die Aufgabe zu verdeut lichen." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 31 "kreis:=circle(m, r,color=green):" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 54 "mittel:= plot(\{m\},style=point,symbol=cross,color=blue):" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 53 "punkt:=plot(\{p\},style=point,symbol=cross,co lor=blue):" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 69 "display(kreis ,mittel,punkt,view=[-6..10,-8..8],scaling=constrained);\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 44 "Berechnung des Mittelpunktes der Strecke \+ MP:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 21 "nmpx:=(m[1]+p[1])/2; \n" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 21 "nmpy:=(m[2]+p[2])/2; \n" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 17 "nm:=[nmpx,nmpy];\n" } }}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 211 "Das sind die Koordinaten des Mi ttelpunktes der Strecke MP. Um diesen Punkt ziehen wir jetzt den Thale skreis, wobei der Durchmesser die L\344nge der Strecke MP betr\344gt, \+ der Radius also die H\344lfte dieser Strecke ist." }}}{EXCHG {PARA 0 " > " 0 "" {MPLTEXT 1 0 57 "durch:=sqrt((p[1]-m[1])^2+(p[2]-m[2])^2);\nn r:=1/2*durch;\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 32 "nk:=(x-n mpx)^2+(y-nmpy)^2=nr^2;\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 46 "strecke:=plot(\{p,m\},style=line,color=magenta):" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 34 "kreis2:=circle(nm,nr,color=green):" }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 56 "mittel2:=plot(\{nm\},style=p oint,symbol=cross,color=blue):" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 91 "display(strecke,kreis,kreis2,mittel,mittel2,punkt,view=[-8..8, -8..8],scaling=constrained);\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 151 "Jetzt m\374ssen wir d ie beiden Kreise miteinander schneiden, um die Schnittpunkte und somit die Ber\374hrpunkte der Tangenten mit dem Kreis herauszubekommen." }} }{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 16 "gl1:=expand(k);\n" }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 17 "gl2:=expand(nk);\n" }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 33 "schnipu:=solve(\{gl1,gl2\}, \{x,y\});\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 195 "Das sind jetzt al so die beiden Schnittpunkte der beiden Kreise. Jetzt m\374ssen wir nur noch die Tangenten durch Punkt P und jeweils einen dieser Schnittpunk te bzw. Ber\374hrpunkte der Tangenten legen." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 51 "schnipu1:=[rhs(schnipu[1][1]),rhs(schnipu[1][2]) ];\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 51 "schnipu2:=[rhs(schn ipu[2][1]),rhs(schnipu[2][2])];\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 154 "Um die Tangentengleichungen zu bekommen, brauchen wir die Zwei-Pu nkte-Form, wobei der Punkt P und der berechnete Ber\374hrpunkt die bei den Punkte darstellen." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 67 "` Zwei-Punkte-Form= erster Punkt+s*(zweiter Punkt - erster Punkt)`;\n" } }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 46 "tang1:=convert(evalm(p+s*( schnipu1-p)),list);\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 46 "ta ng2:=convert(evalm(p+s*(schnipu2-p)),list);\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 51 "tangente1:=plot(\{seq(tang1,s=-5..5)\},color=sie nna):" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 51 "tangente2:=plot(\{ seq(tang2,s=-5..5)\},color=sienna):" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 112 "display(tangente1,tangente2,strecke,kreis,kreis2,mit tel,mittel2,punkt,view=[-6..10,-8..8],scaling=constrained);\n" }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 33 "So, das ist jetzt das Ergebnis!!!" }}}{EXCHG {PARA 0 "> \+ " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{SECT 0 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 77 "Eine Gerade solange paralle l verschieben, bis sie Tangente an einen Kreis ist" }}{EXCHG {PARA 0 " > " 0 "" {MPLTEXT 1 0 50 "restart:with(linalg):with(plots):with(plotto ols):\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 190 "Gegeben ist ein Kreis K und eine Gerade, die zum Kreis eine Passante ist. Die Gerade soll s olange verschoben werden, oder eine parallele Gerade gefunden werden, \+ bis g' die Tangente zu K ist." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 23 "K:=(x-3)^2+(y+2)^2=25;\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 56 "Wie man aus dieser Kreisgleichung herauslesen kann, ist:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 17 "r:=5; m:=[3,-2];\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 14 "g:=3*x-4*y=0;\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 31 "Zuerst zeichnen wir dies alles:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 17 "ger:=solve(g,y);\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "> \+ " 0 "" {MPLTEXT 1 0 31 "gerade:=plot(ger,x,color=blue):" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 31 "kreis:=circle(m,r,color=green):" }} }{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 23 "display(gerade,kreis);\n" } }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 " " {TEXT -1 37 "Der Normalenvektor der Geraden g ist:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 17 "normale:=[3,-4];\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 42 "also ist der Normaleneinheitsvektor von g:" }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 33 "n0:=1/norm(normale,2)*'norma le';\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 194 "Die Ber\374hrpunkte de r neuen Geraden mit dem Kreis erh\344lt man, wenn man vom Mittelpunkt \+ aus um den Radius mal dem Normaleneinheitsvektor hoch- bzw. runtergeht (da es ja zwei Tangenten gibt). Also:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 12 "b1:=m+r*n0;\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 12 "b2:=m-r*n0;\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 130 "Das sin d die beiden Ber\374hrpunkte, die jetzt Punkte der Geraden sind. Diese Punkte mu\337 man nun in die Tangentenbedingung einsetzen:" }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 103 "tang1:=([x,y]-m)*(b1-m)=r^2 ;\ntang1:=dotprod(([x,y]-m),(b1-m))=r^2;\ntang1:=lhs(tang1)+17=rhs(tan g1)+17;\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 103 "tang2:=([x,y] -m)*(b2-m)=r^2;\ntang2:=dotprod(([x,y]-m),(b2-m))=r^2;\ntang2:=lhs(tan g2)-17=rhs(tang2)-17;\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 " " }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 15 "alles zeichnen:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 26 "tangent1:=solve(tang1,y);\n" }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 26 "tangent2:=solve(tang2,y);\n " }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 49 "tangenten:=plot(\{tange nt1,tangent2\},x,color=red):" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 74 "display(gerade,kreis,tangenten,scaling=constrained,view=[-5..10, -10..6]);\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 32 "So, das ist also das Ergebnis!!!" }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 " " {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{SECT 0 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 36 "Vier Tange nten zwischen zwei Kreisen" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 50 "restart:with(linalg):with(plots):with(plottools):\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 105 "Zwei Kreise besitzen vier gemeinsame Tan genten. Gesucht sind die Koordinatengleichungen dieser Tangenten." }}} {EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 22 "Definition der Kreise:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 38 "k1:=x^2+y^2=4;\nk2:=(x-6)^2+(y-4)^2 =9;\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 5 "also:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 36 "r1:=2; r2:=3; m1:=[0,0]; m2:=[6,4];\n" }}} {EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 9 "zeichnen:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 43 "kreis1:=display(circle(m1,r1),color=green):" }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 43 "kreis2:=display(circle(m2,r2 ),color=green):" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 44 "display( kreis1,kreis2,scaling=constrained);\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 116 "Die Tangente ngleichung mu\337 ja die Form einer Geraden haben. Die Steigung (norma lerweise m) benenne ich mit st. Also:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 18 "tanggl:=y=st*x+c;\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 58 "Jetzt brauchen wir die Tangentenbedingung aus Aufgabe 26: " } {XPPEDIT 18 0 "r^2*(1+m^2) = c^2;" "6#/*&%\"rG\"\"#,&\"\"\"F(*$%\"mGF& F(F(*$%\"cGF&" }{TEXT -1 54 ", wobei c der y-Achsenabschnitt ist (norm alerweise b)." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 27 "tangbed:=r ^2*(1+st^2)=c^2;\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 56 "Diese Tange ntenbedingung verwenden wir f\374r den Kreis k1." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 30 "tangbed1:=subs(r=r1,tangbed);\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 48 "Also ergibt sich f\374r m und c folgende \+ Gleichung:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 28 "gl1:=c=[solve (tangbed1,c)];\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 120 "Die Tangente nbedingung mu\337 auch f\374r den zweiten Kreis gelten. Sie mu\337 gle ich der umgeformten Geradengleichung sein. Aus " }{XPPEDIT 18 0 "y = s t*x+c;" "6#/%\"yG,&*&%#stG\"\"\"%\"xGF(F(%\"cGF(" }{TEXT -1 6 " wird \+ " }{XPPEDIT 18 0 "st*x+c-y;" "6#,(*&%#stG\"\"\"%\"xGF&F&%\"cGF&%\"yG! \"\"" }{TEXT -1 98 ". F\374r x und y werden in dieser Gleichung die Ko ordinaten des Mittelpunktes von Kreis 2 eingesetzt." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 53 "gl2:=m2[1]*st-m2[2]+c=[solve(subs(r=r2,ta ngbed),c)];\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 185 "Das sind die be iden Gleichungen. In dieser Form kann Maple jedoch nicht viel mit ihne n anfangen. Also m\374ssen wir es anders machen. Und zwar immer nur ei ne der beiden L\366sungen verwenden." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 39 "a1:=c=rhs(gl1)[1];\na2:=c=rhs(gl1)[2];\n\n" }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 52 "b1:=lhs(gl2)=rhs(gl2)[1];\nb 2:=lhs(gl2)=rhs(gl2)[2];\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 115 "Di ese zwei c-Werte (a1 und a2) setzt man jetzt in die Gleichungen b1 und b2 ein. Somit erh\344lt man vier Gleichungen." }}}{EXCHG {PARA 0 "> \+ " 0 "" {MPLTEXT 1 0 81 "glei1:=subs(a1,b1);\nglei2:=subs(a1,b2);\nglei 3:=subs(a2,b1);\nglei4:=subs(a2,b2);\n\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 104 "L\366st man diese Gleichungen jeweils nach der Steigung \+ st auf, so erh\344lt man vier verschiedene Steigungen:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 89 "st1:=solve(glei1,st);\nst2:=solve(g lei2,st);\nst3:=solve(glei3,st);\nst4:=solve(glei4,st);\n\n" }}} {EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 352 "Diese Steigungen kann man jetzt w ieder in die obige Gleichung f\374r c einsetzen. Dabei mu\337 man jedo ch darauf achten, da\337 man die richtige Steigung in die richtige Gle ichung einsetzt. Die Steigungen st1 und st2 habe ich ja aus a1 gewonne n, also setze ich sie hier wieder in a1 ein. st3 und st4 habe ich aus \+ a2 gewonnen, also setze ich sie dort wieder ein." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 105 "c1:=subs(st=st1,rhs(a1));\nc2:=subs(st=st2,r hs(a1));\nc3:=subs(st=st3,rhs(a2));\nc4:=subs(st=st4,rhs(a2));\n\n" }} }{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 69 "tang1:=st1*x+c1;\ntang2:=st 2*x+c2;\ntang3:=st3*x+c3;\ntang4:=st4*x+c4;\n\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "> \+ " 0 "" {MPLTEXT 1 0 79 "ta1:=plot(tang1,x):\nta2:=plot(tang2,x):\nta3: =plot(tang3,x):\nta4:=plot(tang4,x):" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 80 "display(ta1,ta2,ta3,ta4,kreis1,kreis2,scaling=constra ined,view=[-4..10,-5..8]);\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}}}{MARK "1" 0 }{VIEWOPTS 1 1 0 1 1 1803 1 1 1 1 }{PAGENUMBERS 0 1 2 33 1 1 }