{VERSION 5 0 "IBM INTEL NT" "5.0" } {USTYLETAB {CSTYLE "Maple Input" -1 0 "Courier" 0 1 255 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "2D Math" -1 2 "Times" 0 1 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "2D Comment" 2 18 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 } {CSTYLE "" -1 256 "" 1 24 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 }{PSTYLE "Normal " -1 0 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 }0 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "Heading 1" 0 3 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 1 18 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 }1 0 0 0 8 4 0 0 0 0 0 0 -1 0 } {PSTYLE "Heading 2" 3 4 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 1 14 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 }0 0 0 -1 8 2 0 0 0 0 0 0 -1 0 }} {SECT 0 {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{SECT 0 {PARA 3 "" 0 "" {TEXT -1 6 "Quelle" }}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 17 "Upda te auf Maple8" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 24 "14.05.2004 Manuel M\374l ler" }}}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT 256 19 "Mutter-Tochter-Kern" }}} {SECT 1 {PARA 3 "" 0 "" {TEXT -1 9 "allgemein" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 8 "restart:" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 126 "Der Mutterkern zerf\344llt exponentiell. Der Bestand des Zerfalls kom mt zum Tochterkern hinzu und zerf\344llt ebenfalls expnentiell." }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 48 "DGL f\374r Mutterkern (f\374r exponentiellen Zerfall):" } }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 29 "dgl1:=diff(A(t),t)=-ka*A(t );\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 20 "DGL f\374r Tochterkern:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 36 "dgl2:=diff(B(t),t)=ka*A(t )-kb*B(t);\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 76 "B(0): Der Tochter kern ist zur Zeit 0 gleich 0, da noch nichts zerfallen ist." }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 48 "dsolve(\{dgl1,dgl2,A(0)=A0,B (0)=0\},\{A(t),B(t)\});\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 10 "assign(%);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 9 "A0:=100;\n " }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 40 "A:=unapply(A(t),t);\nB: =unapply(B(t),t);\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 35 "ka und kb \+ d\374rfen nicht negativ sein" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 14 "ka:=1; kb:=2;\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 12 "A( t); B(t);\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 9 "Zeichnen:" }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 33 "plot(\{A(t),B(t)\},t=0..8,0. .100);\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}}{SECT 1 {PARA 3 "" 0 "" {TEXT -1 8 "Beispiel" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{SECT 0 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 10 "1. Aufgabe" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 8 "restart:" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 9 "a) \+ und b)" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 48 "DGL f\374r Mutterkern ( f\374r exponentiellen Zerfall):" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 29 "dgl1:=diff(A(t),t)=-ka*A(t);\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 20 "DGL f\374r Tochterkern:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 36 "dgl2:=diff(B(t),t)=ka*A(t)-kb*B(t);\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 76 "B(0): Der Tochterkern ist zur Zeit 0 glei ch 0, da noch nichts zerfallen ist." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 48 "dsolve(\{dgl1,dgl2,B(0)=0,A(0)=A0\},\{A(t),B(t)\});\n " }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 10 "assign(%);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 40 "A:=unapply(A(t),t);\nB:=unapply(B(t ),t);\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 42 "solve(\{B(0)=0,B(1)=1,B(2)=1\},\{ka ,kb,A0\});\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 10 "assign(%); " }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 7 "ka:=1;\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 12 "A(t); B(t);\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 26 "plot(\{A(t),B(t)\},t=0..5);\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 88 "Am Anfang zerf\344llt viel, also nimmt To chterkern stark zu. Am Schlu\337 gehen beide gegen 0." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 2 "c)" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 20 "restart:with(pl ots):" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 48 "DGL f\374r Mutterkern (f \374r exponentiellen Zerfall):" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 29 "dgl1:=diff(A(t),t)=-ka*A(t);\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 20 "DGL f\374r Tochterkern:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 36 "dgl2:=diff(B(t),t)=ka*A(t)-kb*B(t);\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 76 "B(0): Der Tochterkern ist zur Zeit 0 glei ch 0, da noch nichts zerfallen ist." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 48 "dsolve(\{dgl1,dgl2,B(0)=0,A(0)=10\},\{A(t),B(t)\});\n " }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 10 "assign(%);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 40 "A:=unapply(A(t),t);\nB:=unapply(B(t ),t);\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 9 "ka:=10; \n" }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 12 "A(t); B(t);\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 40 "schar:=plot(\{seq(B(t),kb=0..5)\},t =0..5):" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 16 "display(schar); \n" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 " " 0 "" {TEXT -1 26 "Ortskurve der Wendepunkte:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> \+ " 0 "" {MPLTEXT 1 0 21 "Bs:=t->diff(B(t),t);\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "> \+ " 0 "" {MPLTEXT 1 0 23 "Bss:=t->diff(Bs(t),t);\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 8 "Bss(t);\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 56 "zweite Ableitung gleich null setzen und nach t aufl\366sen:" }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 23 "tw:=solve(Bss(t)=0,t);\n" }} }{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 16 "B_wende:=B(tw);\n" }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 59 "OK_wende:=plot([tw,B_wende,k b=0..6],color=red,thickness=3):" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 25 "display(schar,OK_wende);\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}} {SECT 1 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 10 "2. Aufgabe" }}{EXCHG {PARA 0 "> \+ " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 8 "r estart:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 35 "dgl:=diff(f(x),x )=c*f(x)*(b-f(x));\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 27 "dso lve(\{dgl,f(0)=1\},f(x));\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 10 "assign(%);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 20 "f:=unappl y(f(x),x);\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 7 "b:=10;\n" }} }{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 6 "f(x);\n" }}}{EXCHG {PARA 0 " > " 0 "" {MPLTEXT 1 0 35 "plot(\{seq(f(x),c=-3..3)\},x=-1..1);\n" }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 " " {MPLTEXT 1 0 45 "fkt1:=subs(c=-1,f(x));\nfkt2:=subs(c=1,f(x));\n" }} }{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 15 "gl:=fkt1=fkt2;\n" }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 13 "solve(gl,x);\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 140 "Das ist die x-Koordinate des Schnittpunk tes dieser beiden Funktionen. Die y-Koordinate erhalten wir, indem wir die Funktion von 0 berechnen:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 32 "subs(x=0,fkt1);\nsubs(x=0,fkt2);\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 36 "Der gleiche Wert, also Schnittpunkt." }}}{EXCHG {PARA 0 " " 0 "" {TEXT -1 21 "- gleiche Asymptoten:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 " " {MPLTEXT 1 0 49 "limit(fkt1,x=infinity);\nlimit(fkt1,x=-infinity);\n " }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 49 "limit(fkt2,x=infinity); \nlimit(fkt2,x=-infinity);\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 34 "Berechnung von c (soda \337 f(0.1)=2):" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 6 "f(x);\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 10 "f(0.1)=2;\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 19 "solve(f(0.1)=2,c);\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}}}{SECT 1 {PARA 3 "" 0 "" {TEXT -1 7 "Aufgabe" }} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 " " {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 " " {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 511 "\na) Ein r adioaktiver Stoff enth\344lt Atomkerne, die zerfallen und sich dabei i n Kerne anderer Elemente umwandeln. Die Anzahl der Atomkerne nimmt im \+ Laufe der Zeit exponentiell ab. F\374r die Abh\344ngigkeit der noch ni cht zerfallenen Kerne N gilt:\n\nN(t)=N0*exp(-k*t), k>0\n\nDie Gr\366 \337e k hei\337t Zerfallskonstante. Die Zeit, w\344hrend der N auf die H\344lfte abnimmt, hei\337t Halbwertszeit. Ferner bezeichnet man als \+ mittlere Lebensdauer die Zeit, in der N auf 1/exp des Ausgangswertes \+ absinkt. \n\nWovon h\344ngt die Halbwertszeit ab?" }}}{EXCHG {PARA 0 " > " 0 "" {MPLTEXT 1 0 8 "restart:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 20 "N:=t->N0*exp(-k*t);\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 89 "Die H\344lfte des Ausgangswertes N0 (bei N(0)) wird zur Z eit th, der Halbwertszeit erreicht:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 20 "gl:=1/2*N(0)=N(th);\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 71 "Um die Halbwertszeit zu erhalten, l\366se ich diese Gleic hung nach th auf:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 28 "Halbwe rtszeit=solve(gl,th);\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 51 "Die Ha lbwertszeit h\344ngt der Zerfallskonstante k ab." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 120 "Bere chnen Sie die mittlere Lebensdauer des radioaktiven Edelgases Radon-22 0, das eine Halbwertszeit von 55 Sekunden hat." }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 34 "F\374r die mittlere Lebensdauer gilt:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 28 "gl1:=(1/exp(1))*N(0)=N(tm);\n" }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 19 "tm:=solve(gl1,tm);\n" }}} {EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 173 "Jetzt mu\337 ich die Zerfallskons tante k berechnen. Gegeben ist die Halbwertszeit von Radon. Diese setz e ich in die oben berechnete Halbwertszeitformel ein und l\366se nach \+ k auf:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 21 "gl2:=subs(th=55,g l);\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 18 "k1:=solve(gl2,k); \n" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 130 "Das ist die Zerfallskonsta nte. Diese setze ich in die berechnete Formel f\374r die mittlere Lebe nsdauer ein und l\366se nach dieser auf:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 25 "subs(k=k1,tm); evalf(%);\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 " " {TEXT -1 48 "Die mittlere Lebensdauer ist ca. 79,34 Sekunden." }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 64 "Wie wirkt sich eine \304nderung von N(0) auf die Zerfalls kurve aus?" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 6 "N(t);\n" }}} {EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 44 "Um das zu zeigen, zeichne ich eine sequence:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 66 "plot(\{seq(su bs(k=3,N(t)),N0=seq(j,j=seq(i*10,i=4..10)))\},t=0..3);\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 177 "Die Ver\344nderung des Startwertes N0 hat eine Streckung in y- Richtung zur Folge, hat aber keinen Einflu\337 auf den Endwert, der ge gen 0 strebt. Der y-Achsenabschnitt wird ver\344ndert." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 68 "Diskutieren Sie die Abh\344ngigkeit der Zerfallskurve vom Param eter k. " }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 6 "N(t);\n" }}} {EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 70 "Dazu zeichne ich eine sequence, be i der ich den Startwert N0 festlege:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 45 "plot(\{seq(subs(N0=50,N(t)),k=1..6)\},t=0..3);\n" }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 " " {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}} {EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 58 "Welcher Differentialgleichung gen \374gt die Zerfallsfunktion?" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 6 "N(t);\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 10 "Ns:=D(N);\n " }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 13 "gl1:=N=N(t);\n" }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 15 "gl2:=Ns=Ns(t);\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 25 "solve(\{gl1,gl2\},\{k,Ns\});\n" }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 22 "dgl:=Ns=ln(N/N0)*N/t;\n" }}} {EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 56 "Das ist aber noch keine DGL. Also \+ Differentialgleichung:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 40 "d gl:=diff(f(t),t)=(ln(f(t)/f0)*f(t))/t;\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 89 "Wie l\344\337 t sich der 1. Ableitungswert N\222(t) f\374r einen Zeitpunkt t praktis ch interpretieren?" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 7 "Ns(t); \n" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 77 "Der 1. Ableitungswert gibt \+ an, wie stark sich die Anzahl der Kerne ver\344ndert." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 8 "restart:" }}}{EXCHG {PARA 0 " > " 0 "" {MPLTEXT 1 0 23 "N1:=t->N10*exp(-k1*t);\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 47 "N2:=t->N10*k1/(k2-k1)*(exp(-k1*t)-exp(-k2*t ));\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 105 "Zur Berechnung der Extr ema brauche ich die erste Ableitung, die ich gleich null setze und nac h t aufl\366se:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 12 "N2s:=D(N 2);\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 24 "tex:=solve(N2s(t)= 0,t);\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 23 "hinreichende Bedingung :" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 14 "N2ss:=D(N2s);\n" }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 11 "N2ss(tex);\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 128 "Zu zeigen ist nur, da\337 tex immer positiv ist, da die zweite Ableitung f\374r ein Maximum kleiner null sein mu\337. Es gibt zwei F \344lle:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 5 "tex;\n" }}} {EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 57 "k1>k2: Nenner positiv, Z\344hler a uch positiv -> tex positiv" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 33 "subs(\{k1=4,k2=3\},tex); evalf(%);\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 52 "k1 tex positiv" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 33 "subs(\{k1=3,k2=4\},tex); \+ evalf(%);\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 19 "ln(3/4); eva lf(%);\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 36 "tex ist also f\374r a lle F\344lle positiv." }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 86 "\nNachfo lgendes Schaubild zeigt die Zeitkurven f\374r k1 = 0,3 , k2 = 0,1 und \+ N(0) = 100.\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 7 "N1(t);\n" } }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 7 "N2(t);\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 18 "k1:=0.3; k2:=0.1;\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 10 "N10:=100;\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 84 "plot([N1(t),N2(t)],t=0..44,color=[red,blue],title=`Mu tter-N1-rot,Tochter-N2-blau`);\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 33 "Interpretiere n Sie das Schaubild." }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 724 "Zur Zeit null ist das Mutterelement vollst\344ndig mit den 100 Kernen, wobei d ie Tochter noch keine Elemente hat. Die Mutterelemente zerfallen, und \+ zwar desto st\344rker, je mehr Kerne es noch besitzt. Dementsprechend \+ nimmt die Anzahl der Tochterkerne stark zu. Mit der Zeit nimmt die Anz ahl der Mutterkerne ab, und somit auch die Zerfallswahrscheinlichkeit. Die Tochterelemente bekommen also nicht mehr so starken Zuwachs. Da g leichzeitig immer Tochterkerne zerfallen sind, \374bertrifft nun der Z erfall den Zuwachs von den zerfallenen Mutterkernen, das Tochterelemen t hat sein Maximum erreicht. Nun zerfallen mehr Tochterkerne als Mutte rkerne hinzukommen. Beide Funktionen n\344hern sich ihrem Grenzwert Nu ll f\374r t gegen unendlich an." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 40 "Von welcher Idealisier ung geht man aus? " }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 162 "Da\337 der Mutterkern am Anfang aus 100 Kernen besteht und der Tochterkern keine Kerne hat. Au\337erdem da\337 der Zerfall regelm\344\337ig, mit Hilfe einer e-Funktion verl\344uft." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 123 "Zeigen Sie allgemein, da\337 sich die Fl\344chen unter den beiden Kurven verhalten wie die \+ mittleren Lebensdauern der Substanzen." }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 18 "an einem Beispiel:" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 28 "die mittlere Lebensdauer -> " }{XPPEDIT 18 0 "1/k;" "6#*&\"\"\"F$% \"kG!\"\"" }{TEXT -1 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 8 " k1; k2;\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 22 "ml1:=1/k1;\nml 2:=1/k2;\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 36 "flaeche1:=int (N1(t),t=0..infinity);\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 36 "flaeche2:=int(N2(t),t=0..infinity);\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 54 "Verh\344ltnis der mittleren Lebensdauern und der Fl\344ch en:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 27 "ml1/ml2=flaeche1/fla eche2;\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 10 "allgemein:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 8 "restart:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 23 "N1:=t->N10*exp(-k1*t);\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 47 "N2:=t->N10*k1/(k2-k1)*(exp(-k1*t)-exp(-k2*t));\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 25 "mittlere Lebensdauer ist " }{XPPEDIT 18 0 "1/k: " "6#*&\"\"\"F$%\"kG!\"\"" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 11 "ml1:=1/k1;\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 11 "ml2:=1/ k2;\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 36 "flaeche1:=int(N1(t ),t=0..infinity);\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 36 "flae che2:=int(N2(t),t=0..infinity);\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 27 "assume(k1>0); assume(k2>0);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 20 "flaeche1; flaeche2;\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 40 "verhaeltnis:=ml1/ml2=flaeche1/flaeche2;\n" }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 " " {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 244 "c) Aus ein em nichtradioaktiven Pr\344parat A kann man durch gleichm\344\337igen \+ Beschu\337 mit Teilchen das radioaktive Pr\344parat B erzeugen, das in C weiterzerfalle. \n\nWelche Differentialgleichung beschreibt die zei tliche Entwicklung NB(t) des Pr\344parats B?" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 8 "restart:" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 50 " Differentialgleichung (f\374r beschr\344nktes Wachstum):" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 29 "dgl:=diff(N(t),t)=P-kn*N(t);\n" }}} {EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 149 "gleichm\344\337iger Beschu\337 -> konstanter Zuwachs P, von diesem P zerf\344llt wieder kn*N(t), also d ie Zerfallskonstante multipliziert mit dem Bestand B, N(t)" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 88 "Diskutieren Sie qualitativ (was passiert, ohne Zahlen) den zeit lichen Verlauf von NB(t)." }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 22 "Die \+ Funktion f\374r N(t):" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 27 "ds olve(\{dgl,N(0)=0\},N(t));\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 10 "assign(%);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 20 "N:=unap ply(N(t),t);\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 13 "assume(kn >0);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 53 "Wenn t gegen unendlich ge ht, gibt es einen Grenzwert:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 24 "limit(N(t),t=infinity);\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 136 "In der Zeit, in der die Funktion den Grenzwert ann\344hernd errei cht, ist die Steigung, also die \304nderung der Anzahl der Kerne gleic h null:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 171 "Begr\374nden Sie, warum eine Bestrahlung von Pr\344parat A \374ber einen langen Zeitraum nur mit dem Ziel, m \366glichst viele Teilchen von Pr\344parat B zu erhalten, wenig sinnvo ll ist? " }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 368 "Eine Bestrahlung von Pr\344parat A \374b er einen langen Zeitraum ist wenig sinnvoll, da die Funktion einen Gre nzwert hat (beschr\344nktes Wachstum). Die Teilchenanzahl des Pr\344pa rats B nimmt den Grenzwert P/kn an. Mehr Teilchen k\366nnen auch \374b er einen l\344ngeren Zeitraum nicht entstehen, da die Steigung, und da mit die \304nderung der Teilchenanzahl von Pr\344parat B gegen null st rebt:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 10 "Ns:=D(N);\n" }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 25 "limit(Ns(t),t=infinity);\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 217 "Eine l\344ngere Bestrahlung vo n A bringt nichts, da zu der Zeit, zu der der Grenzwert ann\344hernd e rreicht wurde, ann\344hernd so viele Teilchen vorhanden sind wie zu ei nem sp\344teren Zeitpunkt h\366chstens erreicht werden k\366nnen." }}} }{SECT 1 {PARA 3 "" 0 "" {TEXT -1 35 "Halbwertszeit, mittlere Lebensda uer" }}}{SECT 1 {PARA 3 "" 0 "" {TEXT -1 16 "stabiler Zustand" }} {EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 98 "Ein stabiler Zustand ist erreicht, wenn nichts mehr zerf\344llt. Die Zerfallskonstante ist dann null." } }}}}{MARK "4 0 0" 1 }{VIEWOPTS 1 1 0 1 1 1803 1 1 1 1 }{PAGENUMBERS 0 1 2 33 1 1 }