{VERSION 2 3 "IBM INTEL NT" "2.3" } {USTYLETAB {CSTYLE "Maple Input" -1 0 "Courier" 0 1 255 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 }{CSTYLE "2D Math" -1 2 "Times" 0 1 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "2D Comment" 2 18 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 } {CSTYLE "2D Output" 2 20 "" 0 1 0 0 255 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE " " -1 256 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 257 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 258 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 259 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 260 "" 1 18 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "Schill" -1 261 "Alg erian" 0 0 255 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 262 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 263 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 264 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 265 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 266 "" 1 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 267 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 268 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 269 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 270 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 271 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 272 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 }{PSTYLE "Norm al" -1 0 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }0 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "Heading 1" 0 3 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 1 18 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 }1 0 0 0 6 6 0 0 0 0 0 0 -1 0 } {PSTYLE "Maple Output" 0 11 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }3 3 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "" 11 12 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }1 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "" 0 256 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 1 14 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 }3 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "" 0 257 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 1 14 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 }3 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "" 0 258 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 1 14 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 }3 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "" 0 259 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 1 14 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 }3 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "" 0 260 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 1 14 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 }3 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "" 0 261 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }3 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "" 0 262 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 1 14 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 }0 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "" 0 263 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 1 14 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 }0 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }} {SECT 0 {SECT 1 {PARA 3 "" 0 "" {TEXT -1 6 "Quelle" }}{EXCHG {PARA 0 " " 0 "" {TEXT -1 372 "Dateiname: kusplint.mws\nDateigr\366\337e: 33 KB \nName: Christoph Schill\nSchule: Isolde-Kurz-Gymnasium\nKlasse: Mathe -LK 12\nDatum: 22.03.98\nFach: Mathematik\nThema: Interpolationen\nSti chw\366rter: Polynom durch gegebenene Punkte\nKurzbeschreibung:Verschi edene Interpolationen werden beschrieben, z.B. nach Newton, eigene In terpolation und mit Maplebefehlen \"interp( )\" und \"spline( )\"\n" } }}}{EXCHG {PARA 256 "" 0 "" {TEXT 261 13 "Mathe-Lk 12/2" }}{PARA 257 " " 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 258 "" 0 "" {TEXT 261 18 "Mathe-Referat N r.2" }}{PARA 262 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 259 "" 0 "" {TEXT 261 6 "Thema:" }}{PARA 263 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 260 "" 0 "" {TEXT 261 15 "Interploationen" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}{SECT 1 {PARA 3 "" 0 "" {TEXT -1 27 " Interpolation, was ist das?" }}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 598 "Be i vielen technischen und naturwissenschaftlichen Problemen gewinnt man funktionale Zusammenh\344nge auf empirischen Wege. Dabei entsteht kei ne Funktionsgleichung, sondern lediglich eine endliche Menge von Paare n zugeh\366riger Me\337werte. Sofern man lediglich am Werteverlauf int eressiert ist, pflegt man mehr oder weniger einen Graph durch die gege bene Punktmenge zu legen. Interessiert man sich jedoch f\374r quantita tive Aussagen, so etwa f\374r die Berechnung von Werten zwischen den g emessenen Argumenten, so empfiehlt sich die Aufstellung einer Funktion sgleichung, mit der man rechnerisch operieren kann." }}{PARA 0 "" 0 " " {TEXT -1 66 "F\374r diese Berechnung eignen sich Polynome wegen ihre r Einfachheit." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 24 "Pr\344zis lautet dies d ann:" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 65 "Gesucht ist eine ganz-rationale F unktion f h\366chstens n-ten Grades" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 27 "Sum(m['i']*x^'i','i'=0..n);" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#-%$SumG6$*&&%\"mG6#%\"iG\"\"\")%\"xGF*F+/F*;\"\"!%\"nG " }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 22 "Die (n + 1) Argumente " }{XPPEDIT 18 0 "x[i]" "&%\"x G6#%\"iG" }{TEXT -1 51 " nennt man St\374tzstellen, die zugeh\366rigen Ordinaten " }{XPPEDIT 18 0 "y[i]" "&%\"yG6#%\"iG" }{TEXT -1 346 " St \374tzwerte. Polynome dieser Art nennt man Interpolationspolynome, wei l sie die analytische Einschaltung von Zwischenwerten (\"interpolieren \") gestatten. Die Zahl (n +1) der St\374tzpunkte wird man so gro\337 \+ w\344hlen, da\337 die Polynomwerte innerhalb des vorliegenden Interval ls die \374brigen Funktionswerte von f mit hinreichender Genauigkeit a pproximieren." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 134 "Bei der Interpolation u nterscheidet man zwischen Existenz(es gibt mindestens ein P(x)) und Ei ndeutigkeit(es gibt h\366chstens ein P(x)). " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}}{SECT 1 {PARA 3 "" 0 "" {TEXT -1 67 "Exakte Interpolation \+ durch gegebene Punkte mit und ohne Maplebefehl" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 20 "restart:with(plots):" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 " " {MPLTEXT 1 0 25 "xPunkte:=[seq(i,i=1..4)];" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%(xPunkteG7&\"\"\"\"\"#\"\"$\"\"%" }}}{EXCHG {PARA 0 " > " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 34 "yPunkte:=[seq(rand(10)(),i=1..4)];" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%(yPunkteG7&\"\")\"\"&F&\"\"\"" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 44 "xyPunkt e:=zip((x,y)->[x,y],xPunkte,yPunkte);" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%)xyPunkteG7&7$\"\"\"\"\")7$\"\"#\"\"&7$\"\"$F(7$\"\"%F'" }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 67 "plot(\{xyPunkte\},style=poin t,color=green,symbol=box,title=`Punkte`);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 41 "Hier habe ich nun f\374nf Punkte ausgesucht." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 29 "f:=interp(xPunkte,yPunkte,x);" }} {PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%\"fG,**$%\"xG\"\"$#!\")F(*$F'\"\"#\" #>F'#!$C\"F(\"#L\"\"\"" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 160 "Je nach Anzahl der gegebenen P unkte, interpoliert Maple auf ein Polynom mit dem Grad (Anzahl der Pun kte-1), d.h. vier Punkte ergeben ein Polynom dritten Grades." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 15 "Mit dem Befehl " }{TEXT 264 9 "interp( )" } {TEXT -1 51 " kann man nun mit Maple ganz einfach interpolieren." }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 133 "Punkte:=plot(\{xyPunkte\},s tyle=point,color=green,symbol=box,title=`Interpolation`):\nKurve:=plot (f,x,-10..10):\ndisplay(\{Punkte,Kurve\});" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 " " {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}} {EXCHG {PARA 261 "" 0 "" {TEXT 260 30 "Interpolation ohne Maplebefehl " }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "inter" {MPLTEXT 1 0 20 "restart:with(plots ):" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 78 "Dies ist das Ausgangspolyno m, welches ich im Folgenden genau bestimmten werde." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 24 "y:=x->a*x^3+b*x^2+c*x+d;" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%\"yG:6#%\"xG6\"6$%)operatorG%&arrowGF(,**&%\"aG \"\"\"9$\"\"$F/*&%\"bGF/F0\"\"#F/*&%\"cGF/F0F/F/%\"dGF/F(F(" }}} {EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 49 "Die vier Punkte liefern vier Bedin gungen der Art:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 14 "y(x[i])= yp[i];" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#/,**&%\"aG\"\"\"&%\"xG6#%\"i G\"\"$F'*&%\"bGF'F(\"\"#F'*&%\"cGF'F(F'F'%\"dGF'&%#ypGF*" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 50 "Somit kann ich nun ein Gleichungssystem a ufstellen" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 10 "gln:=NULL:" }} }{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 43 "for i to 4 do \ngln:=gln, \+ \ny(x[i])=yp[i]\nod;" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%$glnG/,**&% \"aG\"\"\"&%\"xG6#F)\"\"$F)*&%\"bGF)F*\"\"#F)*&%\"cGF)F*F)F)%\"dGF)&%# ypGF," }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%$glnG6$/,**&%\"aG\"\"\"&%\" xG6#F*\"\"$F**&%\"bGF*F+\"\"#F**&%\"cGF*F+F*F*%\"dGF*&%#ypGF-/,**&F)F* &F,6#F1F.F**&F0F*F:F1F**&F3F*F:F*F*F4F*&F6F;" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%$glnG6%/,**&%\"aG\"\"\"&%\"xG6#F*\"\"$F**&%\"bGF*F+\" \"#F**&%\"cGF*F+F*F*%\"dGF*&%#ypGF-/,**&F)F*&F,6#F1F.F**&F0F*F:F1F**&F 3F*F:F*F*F4F*&F6F;/,**&F)F*&F,6#F.F.F**&F0F*FBF1F**&F3F*FBF*F*F4F*&F6F C" }}{PARA 12 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%$glnG6&/,**&%\"aG\"\"\"&%\"xG6# F*\"\"$F**&%\"bGF*F+\"\"#F**&%\"cGF*F+F*F*%\"dGF*&%#ypGF-/,**&F)F*&F,6 #F1F.F**&F0F*F:F1F**&F3F*F:F*F*F4F*&F6F;/,**&F)F*&F,6#F.F.F**&F0F*FBF1 F**&F3F*FBF*F*F4F*&F6FC/,**&F)F*&F,6#\"\"%F.F**&F0F*FJF1F**&F3F*FJF*F* F4F*&F6FK" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 34 "So nun gebe ich die \+ vier Punkte an" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 75 "x[1]:=1: \+ yp[1]:=2:\nx[2]:=2: yp[2]:=1:\nx[3]:=3: yp[3]:=4:\nx[4]:=4: yp[4]:=3: " }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 145 "Ich lasse zun\344chst die Pu nkte zeigen und \374bertrage dazu die x- und y-Werte in die oben defin ierten Punkte, um den Plot-Befehl verweden zu k\366nnen." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 35 "for i to 4 do\np.i:=[x[i],yp[i]]\no d:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 55 "plot([p1,p2,p3,p4],st yle=point,symbol=box,color=green);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 61 "Nun l\366se ich das Gleichungssymstem, das momentan so aussieht :" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 4 "gln;" }}{PARA 11 "" 1 " " {XPPMATH 20 "6&/,*%\"aG\"\"\"%\"bGF&%\"cGF&%\"dGF&\"\"#/,*F%\"\")F' \"\"%F(F*F)F&F&/,*F%\"#FF'\"\"*F(\"\"$F)F&F./,*F%\"#kF'\"#;F(F.F)F&F3 " }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 32 "Loesung:=solve(\{gln\}, \{a,b,c,d\});" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%(LoesungG<&/%\"dG\" #:/%\"cG#!#l\"\"$/%\"aG#!\"%F-/%\"bG\"#5" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 16 "assign(Loesung):" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 17 "Endpolynom:=y(x);" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6# >%+EndpolynomG,**$%\"xG\"\"$#!\"%F(*$F'\"\"#\"#5F'#!#lF(\"#:\"\"\"" }} }{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 126 "display(\{plot([p1,p2,p3,p 4],style=point,symbol=box,color=green),plot(Endpolynom,x=-5..5,-5..5,t itle=`Eigene Interpolation`)\});" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}}{SECT 1 {PARA 3 "" 0 "" {TEXT -1 37 "Beispiel 1: Interpolation nach Newton" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 20 "restart:with(plots):" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 166 "Ohne Maple kann man auch auf diese Art das Interpolationspolynom finden. Z u bestimmen ist dasjenige Polynom vom h\366chstens dritten Grade, dess en Graph durch die Punkte" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 56 "x1:=1: y1:=2:\nx2:=2: y2:=4:\nx3:=4 : y3:=8:\nx4:=5: y4:=34:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 " " }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 51 "P0:=[x1,y1];\nP1:=[x2,y 2];\nP2:=[x3,y3];\nP3:=[x4,y4];" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%# P0G7$\"\"\"\"\"#" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%#P1G7$\"\"#\"\"% " }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%#P2G7$\"\"%\"\")" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%#P3G7$\"\"&\"#M" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 173 "verlaufen soll. Um das Polynom nun schrittweise aufzubau en, beginne ich mit einem konstanten Polynom Po1, das so erkl\344rt we rde, da\337 es das erste Zahlenpaar [-1,-8] enth\344lt. " }}{PARA 0 " " 0 "" {XPPEDIT 18 0 "K[i]" "&%\"KG6#%\"iG" }{TEXT -1 66 " sind hier d ie verschieden Steigungen an den ausgesuchten Punkten." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 11 "Po1:=x->k0;" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%$Po1 G:6#%\"xG6\"6$%)operatorG%&arrowGF(%#k0GF(F(" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 25 "k0:=solve(Po1(x1)=y1,k0);" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%#k0G\"\"#" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 11 "Po1:=x->k0;" }} {PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%$Po1G:6#%\"xG6\"6$%)operatorG%&arrow GF(%#k0GF(F(" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 7 "Po1(x);" }} {PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#\"\"#" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 130 "Nun w\344hle ich ein lineares Polynom Po2, das au\337er \+ dem ersten auch noch das zweite Zahlenpaar enthalten soll; f\374r dies es setze ich " }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 25 "Po2:=x->Po 1(x)+k1*(x-x1);" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%$Po2G:6#%\"xG6\"6 $%)operatorG%&arrowGF(,&-%$Po1G6#9$\"\"\"*&%#k1GF1,&F0F1%#x1G!\"\"F1F1 F(F(" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 20 "an. Dann ist n\344mlich" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 25 "k1:=solve(Po2(x2)=y2,k1);" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%#k1G\"\"#" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 21 "Po2:=x->k0+k1*(x-x1);" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%$Po2G:6 #%\"xG6\"6$%)operatorG%&arrowGF(,&%#k0G\"\"\"*&%#k1GF.,&9$F.%#x1G!\"\" F.F.F(F(" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 7 "Po2(x);" }} {PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#,$%\"xG\"\"#" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 " " {TEXT -1 116 "Jetzt mache ich einen entsprechenden Ansatz f\374r ein quadratisches Polynom. Hier f\374ge ich den 3. Punkt auch noch ein." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 32 "Po3:=x->Po2(x)+k2*(x-x1)*(x-x2);" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%$Po3G:6#%\"xG6\"6$%)operatorG%&arrowGF(,&-%$Po2G 6#9$\"\"\"*(%#k2GF1,&F0F1%#x1G!\"\"F1,&F0F1%#x2GF6F1F1F(F(" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 25 "k2:=solve(Po3(x3)=y3,k2);" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%#k2G\"\"!" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 38 "Po3:=x->k0+k1*(x-x1)+k2*(x-x1)*(x-x2);" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%$Po3G:6#%\"xG6\"6$%)operatorG%&arrowGF(,(%#k0G\"\"\"* &%#k1GF.,&9$F.%#x1G!\"\"F.F.*(%#k2GF.F1F.,&F2F.%#x2GF4F.F.F(F(" }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 7 "Po3(x);" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#,$%\"xG\"\"#" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 108 "S chlie\337liche nehme ich noch den vierten Punkt hinzu und setze nun da s endg\374ltige kubische Polynom P(x) gem\344\337" }}}{EXCHG {PARA 0 " > " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 37 "P:=x->Po3(x)+k3*(x-x1)*(x-x2)*(x-x3);" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%\"PG:6#%\"xG6\"6$%)operatorG%&arrowGF(,&-%$Po3G6#9$\" \"\"**%#k3GF1,&F0F1%#x1G!\"\"F1,&F0F1%#x2GF6F1,&F0F1%#x3GF6F1F1F(F(" } }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 " " {TEXT -1 15 "an. Es ist dann" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 23 "k3:=solve(P(x4)= y4,k3);" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%#k3G\"\"#" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT 257 16 "Newtonsche Form:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> \+ " 0 "" {MPLTEXT 1 0 60 "P:=x->k0+k1*(x-x1)+k2*(x-x1)*(x-x2)+k3*(x-x1)* (x-x2)*(x-x3);" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%\"PG:6#%\"xG6\"6$% )operatorG%&arrowGF(,*%#k0G\"\"\"*&%#k1GF.,&9$F.%#x1G!\"\"F.F.*(%#k2GF .F1F.,&F2F.%#x2GF4F.F.**%#k3GF.F1F.F7F.,&F2F.%#x3GF4F.F.F(F(" }}} {EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT 258 11 "Normalform:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 19 "k:=simplify(P(x));;" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%\"kG,*%\"xG\"#I*$F&\"\"$\"\"#*$F&F*!#9!#;\"\"\"" }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 " " {MPLTEXT 1 0 153 "Kurve:=plot(P(x),x,-10..10,title=`Interpolation na ch Newton`):\nPunkte:=plot(\{P0,P1,P2,P3\},style=point,symbol=circle,c olor=green):display(\{Kurve,Punkte\});" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 407 "Damit ist da s gew\374nschte Polynom gefunden (vgl. Lagransches Interpolationspolyn om). Mit Lagrange h\344tte sich das gleiche Polynom ergeben, nur da \337 Lagrange gleich von einem vollst\344ndigen Polynom ausgeht, und e r es nicht teilweise zusammensetzt.Der Vorteil des Polynoms in der New tonschen Form ist, da\337 es die Struktur f\374r den allgemeinen Fall \+ (n + 1 Punkte mit paarweise verschiedenen Abzissen) erkennen l\344\337 t." }}}}{SECT 1 {PARA 3 "" 0 "" {TEXT -1 39 "Beispiel 2: Interpolation nach Lagrange" }}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 85 "Das Problem der \+ Bestimmung eines Polynoms vom Grad 1, das durch die einzelnen Punkt [ " }{XPPEDIT 18 0 "x[0]" "&%\"xG6#\"\"!" }{TEXT -1 1 "," }{XPPEDIT 18 0 "y[0]" "&%\"yG6#\"\"!" }{TEXT -1 7 "] und [" }{XPPEDIT 18 0 "x[1],y[ 1]" "6$&%\"xG6#\"\"\"&%\"yG6#\"\"\"" }{TEXT -1 62 "] geht, ist dasselb e wie das der Approximation einer Funktion " }{TEXT 269 1 "f" }{TEXT -1 10 ", f\374r die " }{XPPEDIT 18 0 "f(x[0])=y[0]" "/-%\"fG6#&%\"xG6# \"\"!&%\"yG6#F)" }{TEXT -1 5 " und " }{XPPEDIT 18 0 "f(x[1])=y[1]" "/- %\"fG6#&%\"xG6#\"\"\"&%\"yG6#\"\"\"" }{TEXT -1 95 " ist, mittels einer Poynominterpolation ersten Grades oder einer \334bereinstimmung der W erte von " }{TEXT 270 1 "f" }{TEXT -1 32 " an den gegebenen St\374tzst ellen. " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 43 "Bertrachten wir mal dieses lin eare Polynom:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 20 "restart:wi th(plots):" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 27 "x0:=1: y0:=1: \nx1:=3: y1:=3:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 14 "f:=x->a* x^2+b;" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%\"fG:6#%\"xG6\"6$%)operato rG%&arrowGF(,&*&%\"aG\"\"\"9$\"\"#F/%\"bGF/F(F(" }}}{EXCHG {PARA 0 "> \+ " 0 "" {MPLTEXT 1 0 48 "P:=x->(x-x1)/(x0-x1)*f(x0)+(x-x0)/(x1-x0)*f(x1 );" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%\"PG:6#%\"xG6\"6$%)operatorG%& arrowGF(,&*(,&9$\"\"\"%#x1G!\"\"F0,&%#x0GF0F1F2F2-%\"fG6#F4F0F0*(,&F/F 0F4F2F0,&F1F0F4F2F2-F66#F1F0F0F(F(" }}}{EXCHG {PARA 11 "" 1 "" {TEXT -1 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 14 "Dann w\344re f\374r " } {XPPEDIT 18 0 "x=x[0]" "/%\"xG&F#6#\"\"!" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 14 "gl1:=P(x0)=y0;" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%$ gl1G/,&%\"aG\"\"\"%\"bGF(F(" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 8 "und f\374r " }{XPPEDIT 18 0 "x = x[1]" "/%\"xG&F#6#\"\"\"" }{TEXT -1 4 " \+ ist" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 14 "gl2:=P(x1)=y1;" }} {PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%$gl2G/,&%\"aG\"\"*%\"bG\"\"\"\"\"$" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 14 "somit besitzt " }{TEXT 271 1 "P " }{TEXT -1 31 " die erforderten Eigenschaften." }}}{EXCHG {PARA 0 "> \+ " 0 "" {MPLTEXT 1 0 26 "L:=solve(\{gl1,gl2\},\{a,b\});" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%\"LG<$/%\"bG#\"\"$\"\"%/%\"aG#\"\"\"F*" }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 10 "assign(L);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 175 "Pkte:=plot(\{[x1,y1],[y0,x0]\},style=point,symbol=box,color=blu e):\nKurve1:=plot(f(x),x=-5..5,-5..5):\nKurve2:=plot(P(x),x=-5..5,-5.. 5,color=green):\ndisplay(\{Pkte,Kurve1,Kurve2\});" }}}{EXCHG {PARA 0 " > " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 197 "Um \+ das Konzept der linearen Interpolation auf Poylnome h\366heren Grades \+ zu verallgemeinern, sei die Konstruktion eines Poylnoms des Grades h \366chstens gleich n betrachtet, das durch die n + 1 Punkte..." }}} {EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT 272 74 "Dieses Interpolationsbeispiel w \374rde ich noch nach den Ferien fertigstellen" }}}}{SECT 1 {PARA 3 " " 0 "" {TEXT -1 37 "St\374ckweise Interpolation mit \"spline\"" }} {EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 13 "Das Kommando " }{TEXT 262 11 "\"sp line( )\"" }{TEXT -1 105 " setzt die Kurve st\374ckweise durch mehrer \+ Polynome niedrigen Grades(\374blicherweise durch Polynome 3.Grades(" } {TEXT 263 29 "Kubische Spline-Interpolation" }{TEXT -1 66 ")) zusammen . Die Kurve ist somit auch an den Schnittpunkten glatt." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 223 "Nachteil dieses Verfahrens ist, da\337 durch das st \374ckweise Zusammensetzen keine Funktion mehr vorliegt. Damit die Kur ve aber graphisch dargestellt oder weiterverwendet werden kann, mu\337 sie in eine Prozedur umgewandelt werden." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 " " {MPLTEXT 1 0 20 "restart:with(plots):" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 25 "xPunkte:=[seq(i,i=1..4)];" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%(xPunkteG7&\"\"\"\"\"#\"\"$\"\"%" }}}{EXCHG {PARA 0 " > " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 34 "yPunkte:=[seq(rand(10)(),i=1..4)];" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%(yPunkteG7&\"\"\"\"\"!\"\"(\"\"$" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 44 "xyPunkt e:=zip((x,y)->[x,y],xPunkte,yPunkte);" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%)xyPunkteG7&7$\"\"\"F'7$\"\"#\"\"!7$\"\"$\"\"(7$\"\"%F," }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 67 "plot(\{xyPunkte\},style=poin t,symbol=box,color=green,title=`Punkte`);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 " " {MPLTEXT 1 0 16 "readlib(spline):" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 49 "f:=unapply(spline(xPunkte,yPunkte,x,3),x):\nf(x);\n" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#-%*PIECEWISEG6%7$,*\"\"#\"\"\"%\"xG# \"#r\"#:*$F*F(#!#V\"\"&*$F*\"\"$#\"#VF-2F*F(7$,*#\"$y$F1F)F*#!$<$F3F.# \"$L#F1F2#!#>F32F*F37$,*!$*=F)F*#\"%%Q#F-F.#!$3#F1F2#\"#_F-%*otherwise G" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT 256 9 "Erkl\344rung" }{TEXT 265 1 ":" }{TEXT -1 243 " Die b eiden ersten Parametern geben die Datenlisten fur die x- und y-Koordin aten an. Der dritte Parameter enth\344lt den gew\374nschten Variablenn amen der Funktion, der vierte Parameter die Ordnung der Kurve, f\374r \+ 3 k\366nnte man auch \"cubic\" schreiben." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 43 "Das Ergebnis wird, wie man sieht, als eine " }{TEXT 259 9 "piecewi se" }{TEXT -1 95 "-Funktion ausgegeben. Dadurch vereinfacht sich die W eiterverarbeitung der Ergebnisse erheblich." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 143 "Kurve:=plot(f(x) ,x,-10..10,title=`Spline-Interpolation`):\nPunkte:=plot(\{xyPunkte\},s tyle=point,symbol=box,color=green):\ndisplay(\{Kurve,Punkte\});" }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}}{SECT 1 {PARA 3 "" 0 " " {TEXT 266 7 "Quellen" }}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 8 "F.Wille \+ " }{TEXT 268 8 "Analysis" }{TEXT -1 8 " S.231ff" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 37 "J.Douglas Faires / Richard L. Burden " }{TEXT 267 19 "Num erische Methoden" }{TEXT -1 7 " S.60ff" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 1 " " }{MPLTEXT 1 0 1 " " }}}}{PARA 3 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}{MARK "5" 0 }{VIEWOPTS 1 1 0 1 1 1803 }