{VERSION 3 0 "IBM INTEL NT" "3.0" } {USTYLETAB {CSTYLE "Maple Input" -1 0 "Courier" 0 1 255 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 }{CSTYLE "2D Math" -1 2 "Times" 0 1 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "2D Comment" 2 18 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 } {CSTYLE "" -1 256 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 257 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 258 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 259 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 } {CSTYLE "" -1 260 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 261 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 262 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 263 "Zurich BT" 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 264 "AdLib BT" 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 } {CSTYLE "" -1 265 "Algerian" 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE " " -1 266 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 267 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 268 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 }{PSTYLE "Normal" -1 0 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }0 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "Heading 1" 0 3 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 1 18 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 }1 0 0 0 8 4 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "Heading 2" 3 4 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 1 14 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }0 0 0 -1 8 2 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "" 0 256 1 {CSTYLE "" -1 -1 "WeddingText BT" 1 18 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 }3 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "" 0 257 1 {CSTYLE "" -1 -1 "WeddingText BT" 1 18 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 }3 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "" 0 258 1 {CSTYLE "" -1 -1 "WeddingText BT" 1 18 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 }3 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 } {PSTYLE "" 0 259 1 {CSTYLE "" -1 -1 "WeddingText BT" 1 18 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 }3 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "" 0 260 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }3 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "" 0 261 1 {CSTYLE "" -1 -1 "WeddingText BT" 1 18 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 }3 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 } {PSTYLE "" 0 262 1 {CSTYLE "" -1 -1 "WeddingText BT" 1 18 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 }3 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }} {SECT 0 {SECT 1 {PARA 3 "" 0 "" {TEXT -1 6 "Quelle" }}{EXCHG {PARA 0 " " 0 "" {TEXT -1 307 "Dateiname: geratfkt.mws\nDateigr\366\337e: 19 KB \nName: Christoph Schill\nSchule: Isolde Kurz Gymnasium\nKlasse: 13\nD atum: 09.27.98\nFach: Mathematik\nThema: Kurvenfit\nStichw\366rter: Ge brochen-rationale Funktionen\nKurzbeschreibung: Anwendungen von gebroc hen-rationale Funktionen bei Ereignissen, die im Alltag auftreten.\n" }}}}{EXCHG {PARA 256 "" 0 "" {TEXT 256 12 "Referat Nr.1" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 262 "" 0 "" {TEXT 268 18 " im Schuljahr 13/ 1" }{TEXT 264 0 "" }{TEXT 265 0 "" }{TEXT 263 0 "" }}{PARA 261 "" 0 " " {TEXT -1 0 "" }}{PARA 257 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }{TEXT 257 0 "" } {TEXT 258 6 "Thema:" }}{PARA 258 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }{TEXT 259 0 " " }{TEXT 260 0 "" }}{PARA 259 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }{TEXT 261 0 "" } {TEXT 262 40 "Anwendung gebrochenrationaler Funktionen" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }{TEXT 266 0 "" }}}{SECT 1 {PARA 3 "" 0 "" {TEXT -1 10 "Aufgabe a)" }}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 494 "Um herauszuf inden, \"wie hart ein Vogel arbeiten mu\337, um zu fliegen\", wurden i m Windkanal Versuche mit australischen Sittichen (K\366pergewicht zwis chen 20 und 40 Gramm) durchgef\374hrt. Durch Messung des Sauersroffver brauchs des Vogels konnte man auf den Energieverbrauch zur\374ckschlie \337en. Ist v die Geschwindigkeit des Vogels gegen\374ber der Luft bei m Horizontalflug, so kann der Energieverbrauch (in Joule) f\374r eine \+ Strecke von 1 km und pro Gramm K\366rpergewicht n\344herungsweise besc hrieben werden durch:" }}{PARA 0 "" 0 "" {XPPEDIT 18 0 "E := proc (v) \+ options operator, arrow; (.31*(v-35)^2+92)/v end;" "6#>%\"EGR6#%\"vG7 \"6$%)operatorG%&arrowG6\"*&,&*&$\"#J!\"#\"\"\"*$,&F'F3\"#N!\"\"\"\"#F 3F3\"##*F3F3F'F7F,F,F," }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 111 "a)Wie hoch ist der Energieverbrauch des Sittichs pro Kilometer und Gramm bei einer G eschwindigkeit von 25 km/h?" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 80 "b)Bei welc her Geschwindigkeit ist der Energieverbrauch des Vogels am geringsten? " }}}{SECT 1 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 6 "L\366sung" }}{EXCHG {PARA 0 " > " 0 "" {MPLTEXT 1 0 20 "restart:with(plots):" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 19 "Definition von E(v)" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 27 "E:=v->(0.31*(v-35)^2+92)/v;" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 " " {TEXT -1 67 "Nun mache ich mir erst einen \334berblick \374ber die N \344herungskurve E(v)" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 54 "pl ot(E(v),v=-80..80,-80..80,title=`Energieverbrauch`);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 109 " Nun zu Frage a): Diese ist mit Maple sehr lei cht zu berechnen, da man nur f\374r v = 25 in E(v) einsetzen mu\337. " }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 24 "Energieverbrauch:=E(25) ;" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 101 "Der Sittich verbraucht also 4.92 Joule pro Kilometer und Gramm bei einer Geschwindigkeit von 25 k m/h." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 251 "Frage b): Da es sich in diesem Fall um eine Extr emwertaufgabe handelt ben\366tige ich zuerst die 1.Ableitung, um die E stremstellen zu berechnen. Sp\344ter ben\366tige ich auch noch die 2.A bleitung, um entscheiden zu k\366nnen, welche L\366sung ein Minimum da rstellt." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 9 "E1:=D(E);" }}} {EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 79 "E1 stellt nun meine 1.Ableitung da r. Die L\366sung bekomme ich wenn E1(v) 0 setze." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 21 "Ex:=solve(E1(v)=0,v);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 247 "Da die Kurve symmetrisch ist (siehe Plot) bekomme i ch zwei gleiche L\366sungen mit unterschiedlichem Vorzeichen. Da der V ogel aber nicht mit negativer Geschwindigkeit fliegen kann, mu\337 er \+ wohl sein geringsten Energieverbrauch bei etwa 39 km/h haben. " }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 10 "E2:=D(E1);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 64 "Wie schon weiter oben erkl\344rt ben\366tige ic h auch die 2.Ableitung." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 21 " v1:=Ex[1]: v2:=Ex[2]:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" } }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 12 "Max:=E2(v1);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 12 "Min:=E2(v2);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 85 "Wie schon oben vermutet hat der Sittich sein gerings ten Energieverbrauch bei 39 km/h." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 25 "Energieverbrauch2:=E(v2);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 100 "Er hat bei dieser Geschwindigkeit nur einen Energieverbr auch von 2.49 Joule pro Kilometer und Gramm." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 32 "minEnergieverbrauch:=[v2,E(v2)];" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 166 "pkt:=plot(\{minEnergieverbrauch\}, style=point,symbol=box,color=green):\nkur:=plot(E(v),v=-80..80,-80..80 ,title=`Geringster Energieverbrauchspunkt`):\ndisplay(\{pkt,kur\});\n " }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}}}{SECT 1 {PARA 3 " " 0 "" {TEXT -1 10 "Aufgabe b)" }}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 144 "In einem Bericht zum Thema \"Die kleiner gewordene Welt\" sind folgen de Daten \374ber die Entwicklung der Flugzeiten f\374r Transatlantikfl \374ge angegben." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}{EXCHG {PARA 260 "" 0 "" {SPREADSHEET {ROWHEIGHTS 1 24 2 24 3 24 4 24 5 24 6 24 7 0 8 24 9 24 10 24 11 24 12 24 13 24 14 24 15 24 16 24 17 24 18 24 19 24 20 24 21 24 22 24 23 24 24 24 25 24 26 24 27 24 28 24 29 24 30 24 31 24 32 24 33 24 34 24 35 24 36 24 37 24 38 24 39 24 40 24 41 24 42 24 43 24 44 24 45 24 46 24 47 24 48 24 49 24 50 24 51 24 52 24 53 24 54 24 55 24 56 24 57 24 58 24 59 24 60 24 61 24 62 24 63 24 64 24 65 24 66 24 67 24 68 24 69 24 70 24 71 24 72 24 73 24 74 24 75 24 76 24 77 24 78 24 79 24 80 24 81 24 82 24 83 24 84 24 85 24 86 24 87 24 88 24 89 24 90 24 91 24 92 24 93 24 94 24 95 24 96 24 97 24 98 24 99 24 } {COLWIDTHS 1 124 2 64 3 64 4 64 5 64 6 64 7 64 8 64 9 64 10 64 11 64 12 64 13 64 14 64 15 64 16 64 17 64 18 64 19 64 20 64 21 64 22 64 23 64 24 64 25 64 26 64 27 64 28 64 29 64 30 64 31 64 32 64 33 64 34 64 35 64 36 64 37 64 38 64 39 64 40 64 41 64 42 64 43 64 44 64 45 64 46 64 47 64 48 64 49 64 50 64 51 64 } {SSOPTS {CELLOPTS 2 10 4 2 1 0 255 0 }1 }488 136 136 {CELL 1 1 {CELLOPTS 0 -1 -1 0 0 0 255 0 }{R5MATHOBJ "Jahr" 20 "6#%%JahrG" }0 }{CELL 1 2 {CELLOPTS 0 -1 -1 0 0 0 255 0 } {R5MATHOBJ "1936" 20 "6#\"%O>" }0 }{CELL 1 3 {CELLOPTS 0 -1 -1 0 0 0 255 0 }{R5MATHOBJ "1939" 20 "6#\"%R>" }0 }{CELL 1 4 {CELLOPTS 0 -1 -1 0 0 0 255 0 }{R5MATHOBJ "1945" 20 "6#\"%X>" }0 }{CELL 1 5 {CELLOPTS 0 -1 -1 0 0 0 255 0 }{R5MATHOBJ "1949" 20 "6#\"%\\>" }0 }{CELL 1 6 {CELLOPTS 0 -1 -1 0 0 0 255 0 }{R5MATHOBJ "1958" 20 "6#\"%e>" }0 } {CELL 3 1 {CELLOPTS 0 -1 -1 0 0 0 255 0 }{R5MATHOBJ "Flugzeit(h)" 20 " 6#-%)FlugzeitG6#%\"hG" }0 }{CELL 3 2 {CELLOPTS 0 -1 -1 0 0 0 255 0 } {R5MATHOBJ "52" 20 "6#\"#_" }0 }{CELL 3 3 {CELLOPTS 0 -1 -1 0 0 0 255 0 }{R5MATHOBJ "30" 20 "6#\"#I" }0 }{CELL 3 4 {CELLOPTS 0 -1 -1 0 0 0 255 0 }{R5MATHOBJ "15" 20 "6#\"#:" }0 }{CELL 3 5 {CELLOPTS 0 -1 -1 0 0 0 255 0 }{R5MATHOBJ "12" 20 "6#\"#7" }0 }{CELL 3 6 {CELLOPTS 0 -1 -1 0 0 0 255 0 }{R5MATHOBJ "7.5" 20 "6#$\"#v!\"\"" }0 }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 111 "a)\334bertragen Sie d ie Werte der Tabelle in ein Koordinatensystem mit dem Jahr 1936 als Nu llpunkt der Zeit-Achse." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 143 "b)Welche Glei chung mit Parametern bietet sich f\374r eine Funktionsanpassung an? Er mitteln Sie mithilfe einer Ausgleichsgeraden die Parameter." }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 97 "c)Zeichnen Sie das Schaubild der sich erg ebenden Funktion in das vorhandene Koordinatensystemein." }}{PARA 0 " " 0 "" {TEXT -1 262 "d)Im Jahre 1970 dauerte ein Tansatlantikflug von \+ London nach New York rund 5 Stunden, seit dem Jahre 1977 fliegt die \+ Concorde diese Strecke in rund 3,5 Stunden. Vergleichen Sie diese Flu gzeiten mit den Werten, die sich mit der ermittelten Funktion ergeb en." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{SECT 1 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 41 "L\366sung 1 (b) und d) mit zwei Gleichungen)" }} {EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 10 "Frage a): " }}}{EXCHG {PARA 0 "> \+ " 0 "" {MPLTEXT 1 0 20 "restart:with(plots):" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 72 "Pkt1:=[0,52];\nPkt2:=[3,30];\nPkt3:=[9,15];\nPkt 4:=[13,12];\nPkt5:=[22,7.5];" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 38 "Liste:=[Pkt1, Pkt2, Pkt3, Pkt4, Pkt5];" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 " " {TEXT -1 178 "Nun kann ich die Werte ganz einfach plotten lassen, da ich die Punkte in eine Liste geschrieben habe. So mu\337 ich nicht je den Punkt einzeln plotten lassen und dann zusammenfassen." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 67 "plot(\{Liste\},style=point,symbol=b ox,color=green,title=`Flugdaten`);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 87 "Frage b): F \374r eine Funktionsanpassung bietet sich folgende Gleichung mit Param etern an:" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 15 " " }{XPPEDIT 18 0 "f := proc (x) options operator, arrow; a/(x+b) end;" "6#>%\"fGR6 #%\"xG7\"6$%)operatorG%&arrowG6\"*&%\"aG\"\"\",&F'F/%\"bGF/!\"\"F,F,F, " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 13 " " }}}{EXCHG {PARA 0 "> \+ " 0 "" {MPLTEXT 1 0 14 "f:=x->a/(x+b);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 22 "Mein Gleichungssystem!" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 30 "gl1:=f(0)=52;\ngl2:=f(22)=7.5;\n" }}}{EXCHG {PARA 0 " " 0 "" {TEXT -1 120 "Dies sind nun meine zwei Gleichungen. Ich ben\366 tige zwei Gleichungen, weil ich zwei zu suchende Variablen, a und b, h abe." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 23 "solve(\{gl1,gl2\}, \{a,b\});" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 41 "Hier lasse ich nun d ie Gleichungen l\366sen!" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 10 "assign(%);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 145 "Mit dem Befehl \" assign\" weise ich die berechneten Werte f\374r a und b diesen Variabl en fest zu. Die vollst\344ndige Funktion zur Anpassung lautet nun;" }} }{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 5 "f(x);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> \+ " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 9 "Frage c ):" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 134 "kur:=plot(f(x),x=0.. 22,0..52,title=`Funktionsanpassung`):\npkte:=plot(\{Liste\},style=poin t,symbol=box,color=green):\ndisplay(\{kur,pkte\});" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 158 "Fr age d): Das Jahr 1970 bedeutet dann x = 34, und das Jahr 1977 x = 41. \+ Diese x-Werte mu\337 ich jetzt nur noch in meine Funktion einsetzen un d dann vergleichen." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 58 "Wert 1:=f(34);\nAbweichung[1970]:=evalf(((f(34)-5)/5)*100);\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 61 "Wert2:=f(41);\nAbweichung[1977]:=ev alf(((f(41)-3.5)/3.5)*100);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 160 "Wie man nun sehen kann, u nterscheidet sich die Abweichung mit der gefundenen Funktion im Jahr 1 970 um 2.26 %, im Jahr 1977 unterscheiden sich die Werte um 23 %." }}} }{SECT 1 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 50 "L\366sung 2 zur Frage b) und d) \+ (Iterationsverfahren)" }}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 76 "Um nun ei ne N\344herungskurve zu bekommen, kann man auch eines der sogenannten \+ " }{TEXT 267 19 "Iterationsverfahren" }{TEXT -1 185 " ben\374tzen. Man nimmt die einzelnen Me\337werte und f\374gt sie dann in die folgende \+ Formel ein. Dies w\344re dann aber noch eine weitere M\366glichkeit , \+ um dieses Problem der Ann\344herung zu l\366sen. " }}}{EXCHG {PARA 0 " > " 0 "" {MPLTEXT 1 0 20 "restart:with(plots):" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 117 "Man mu\337 nun wieder die verschiedenen Punkte eing eben. Ich nehme daf\374r 3 Punkte, n\344mlich Start-, Mittel- und Endp unkt." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 46 "x1:=0: y1:=52:\nx2 :=9: y2:=15:\nx3:=22: y3:=7.5:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 14 "f:=x->a/(x+b);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 122 "Naeherungswert:=sum('(de ltay(i))^2','i'=1..3);\ndeltay(1):=(y1-(f(x1)));\ndeltay(2):=(y2-(f(x2 )));\ndeltay(3):=(y3-(f(x3)));\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 85 "Den einzelnen Abstand erhalte ich, wenn ich den Funktionswert vom \+ y-Wert subtrahiere." }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 48 "Hier habe \+ ich nun die Abst\344nde zusammensummiert!" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 " " {MPLTEXT 1 0 23 "expand(Naeherungswert);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 43 "Hier zur Veranschaulichung noch ein 3D-plot" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 39 "plot3d(Naeherungswert,a=-5..5,b=-5. .5);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 326 "Hier habe ich nun die Ve rschiedenen Geraden nochmals zusammen in einem 3D-Plot gezeigt. Die ge naueste Gerade bekomme ich, wenn ich die Summe einmal ableite und glei ch 0 setze.Veranschaulicht hei\337t das(siehe Plot): Die genaueste Ger ade ist der Schnittpunkt der Parabel und der Ebene. Ab jetzt k\374rze \+ ich N\344herungswert mit Nw ab." }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 35 "Das ist nun die 1.Ableitung \374ber a." }{MPLTEXT 1 0 24 " \+ " }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 32 "Nw1:=di ff(Naeherungswert,a$1)=0;" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 31 "Das ist die 1.Ableitung \374 ber b." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 32 "Nw2:=diff(Naeheru ngswert,b$1)=0;" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 23 "solve(\{ Nw1,Nw2\},\{a,b\}):" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 22 "Aufl\366su ng nach a und b" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 10 "assign(% );" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 166 "kur:=plot(f(x),x=0.. 23,0..53,title=`Genaueste Gerade`):\npkte:=plot(\{[x1,y1],[x2,y2],[x3, y3],[3,30],[13,12]\},style=point,symbol=box,color=green):\ndisplay(\{k ur,pkte\});\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 57 "Wert1:=f(3 4);\nAbweichung[1970]:=evalf(((f(34)-5)/5)*100);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 61 "Wert2:=f(41);\nAbweichung[1977]:=evalf(((f(41 )-3.5)/3.5)*100);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 57 "Hier untersc heiden sich die Werte um 1.17 % bzw. 21.88 %." }}}}{SECT 1 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 47 "L\366sung 3 zur Frage b) und d) (Ausgleichsgerade)" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 48 "restart:with(stats):with(s tatplots):with(plots):" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 39 "X :=[0,3,9,13,22];\nY:=[52,30,15,12,7.5];" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 12 "Die Me\337werte" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 51 "fit[leastsquare[[x,y],y=a*x+b]]([X,map(y->1/y,Y)]);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 59 "hier lasse ich nun die Ausgleichsgerade v on Maple berechnen" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 36 "as:=. 005176728982: bs:=.01851823474:" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 84 "\"as\" und \"bs\" stehen f\374r die Steigung und den Achsenabschni tt der Ausgleichsgeraden." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 15 "fs:=x->as*x+bs;" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 32 "Das ist nu n die Ausgleichsgerade" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 106 " display(scatterplot(X,map(y->1/y,Y),color=navy,symbol=circle),plot(fs( x),x=0..24),title=Ausgleichsgerade);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 34 "\334bertragung auf die N\344herungskurve" }}}{EXCHG {PARA 0 "> \+ " 0 "" {MPLTEXT 1 0 53 "a:=evalf(1/(as));\nb:=evalf(a*bs);\nf:=x->a/(x +b):f(x);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 140 "kur:=plot(f(x ),x=0..24,0..55):\npkte:=plot(\{[0,52],[3,30],[9,15],[13,12],[22,7.5] \},style=point,symbol=box,color=green):\ndisplay(\{kur,pkte\});\n" }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 57 "Wert1:=f(34):\nAbweichung[19 70]:=evalf(((f(34)-5)/5)*100);" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 61 "W ert2:=f(41):\nAbweichung[1977]:=evalf(((f(41)-3.5)/3.5)*100);" }}} {EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 91 "Mit dieser Art der Ann\344herung, \+ weicht es im Jahr 1970 um 2.8% und im Jahr 1977 um 23.8% ab." }}}} {SECT 1 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 13 "Versuch eine " }{XPPEDIT 18 0 "ex p(x);" "6#-%$expG6#%\"xG" }{TEXT -1 35 "-Funktion durch die Punkte zu \+ legen" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 20 "restart:with(plots) :" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 17 "f:=x->a*exp(k*x);" }}} {EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 16 "Die zu suchende " }{XPPEDIT 18 0 " exp(x);" "6#-%$expG6#%\"xG" }{TEXT -1 10 "-Funktion." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 13 "gl1:=f(0)=52;" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 " " {MPLTEXT 1 0 15 "gl2:=f(22)=7.5;" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 28 "Var:=solve(\{gl1,gl2\},\{a,k\});" }}}{EXCHG {PARA 0 " " 0 "" {TEXT -1 62 "Mit diesem Gleichungssystem bestimme ich die beide n Variablen." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 12 "assign(Var) ;" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 5 "f(x);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 169 "pkte:=plot(\{[0,52],[3,30],[9,15],[13,12],[22,7.5]\},style=poin t,color=green,symbol=box):\nkur:=plot(f(x),x=0..22,y=0..52):\ndisplay( \{pkte,kur\},title=`Gesuchte e-Funktion`);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 13 "Das Schaubild" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 121 "Wi e man nun hier sehen kann, ist die Ann\344herung mit der -Funktion nic ht sehr sinnvoll, weil die Ann\344herung sehr grob ist." }}}}}{SECT 1 {PARA 3 "" 0 "" {TEXT -1 10 "Aufgabe c)" }}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 211 "Ein gen\374gend hohes Glas wird so mit Bier gef\374llt, \+ da\337 eine Schaumschicht entsteht, deren oberer Rand noch unterhalb d es Glasrandes liegt. Die Dicke d dieser Schaumschicht wird in gleichen Zeitabst\344nden gemessen." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}} {EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {SPREADSHEET {ROWHEIGHTS 1 24 2 24 3 24 4 24 5 24 6 24 7 24 8 24 9 24 10 24 11 24 12 24 13 24 14 24 15 24 16 24 17 24 18 24 19 24 20 24 21 24 22 24 23 24 24 24 25 24 26 24 27 24 28 24 29 24 30 24 31 24 32 24 33 24 34 24 35 24 36 24 37 24 38 24 39 24 40 24 41 24 42 24 43 24 44 24 45 24 46 24 47 24 48 24 49 24 50 24 51 24 52 24 53 24 54 24 55 24 56 24 57 24 58 24 59 24 60 24 61 24 62 24 63 24 64 24 65 24 66 24 67 24 68 24 69 24 70 24 71 24 72 24 73 24 74 24 75 24 76 24 77 24 78 24 79 24 80 24 81 24 82 24 83 24 84 24 85 24 86 24 87 24 88 24 89 24 90 24 91 24 92 24 93 24 94 24 95 24 96 24 97 24 98 24 99 24 } {COLWIDTHS 1 64 2 64 3 64 4 64 5 64 6 64 7 64 8 64 9 64 10 64 11 64 12 64 13 64 14 64 15 64 16 64 17 64 18 64 19 64 20 64 21 64 22 64 23 64 24 64 25 64 26 64 27 64 28 64 29 64 30 64 31 64 32 64 33 64 34 64 35 64 36 64 37 64 38 64 39 64 40 64 41 64 42 64 43 64 44 64 45 64 46 64 47 64 48 64 49 64 50 64 51 64 } {SSOPTS {CELLOPTS 2 10 4 2 1 0 255 0 }1 }746 139 139 {CELL 1 1 {CELLOPTS 0 -1 -1 0 0 0 255 0 }{R5MATHOBJ "t(s)" 20 "6#-%\"tG6#%\"sG" }0 }{CELL 1 2 {CELLOPTS 0 -1 -1 0 0 0 255 0 }{R5MATHOBJ "0" 20 "6#\"\"!" }0 }{CELL 1 3 {CELLOPTS 0 -1 -1 0 0 0 255 0 }{R5MATHOBJ "10" 20 "6#\"#5" }0 }{CELL 1 4 {CELLOPTS 0 -1 -1 0 0 0 255 0 }{R5MATHOBJ "20" 20 "6#\"#?" }0 }{CELL 1 5 {CELLOPTS 0 -1 -1 0 0 0 255 0 }{R5MATHOBJ "30" 20 "6#\"#I" }0 } {CELL 1 6 {CELLOPTS 0 -1 -1 0 0 0 255 0 }{R5MATHOBJ "40" 20 "6#\"#S" } 0 }{CELL 1 7 {CELLOPTS 0 -1 -1 0 0 0 255 0 }{R5MATHOBJ "50" 20 "6#\"#] " }0 }{CELL 1 8 {CELLOPTS 0 -1 -1 0 0 0 255 0 }{R5MATHOBJ "60" 20 "6# \"#g" }0 }{CELL 1 9 {CELLOPTS 0 -1 -1 0 0 0 255 0 }{R5MATHOBJ "70" 20 "6#\"#q" }0 }{CELL 1 10 {CELLOPTS 0 -1 -1 0 0 0 255 0 }{R5MATHOBJ "80 " 20 "6#\"#!)" }0 }{CELL 1 11 {CELLOPTS 0 -1 -1 0 0 0 255 0 } {R5MATHOBJ "90" 20 "6#\"#!*" }0 }{CELL 1 12 {CELLOPTS 0 -1 -1 0 0 0 255 0 }{R5MATHOBJ "100" 20 "6#\"$+\"" }0 }{CELL 3 1 {CELLOPTS 0 -1 -1 0 0 0 255 0 }{R5MATHOBJ "d(cm)" 20 "6#-%\"dG6#%#cmG" }0 }{CELL 3 2 {CELLOPTS 0 -1 -1 0 0 0 255 0 }{R5MATHOBJ "2.8" 20 "6#$\"#G!\"\"" }0 } {CELL 3 3 {CELLOPTS 0 -1 -1 0 0 0 255 0 }{R5MATHOBJ "2.2" 20 "6#$\"#A! \"\"" }0 }{CELL 3 4 {CELLOPTS 0 -1 -1 0 0 0 255 0 }{R5MATHOBJ "1.8" 20 "6#$\"#=!\"\"" }0 }{CELL 3 5 {CELLOPTS 0 -1 -1 0 0 0 255 0 } {R5MATHOBJ "1.5" 20 "6#$\"#:!\"\"" }0 }{CELL 3 6 {CELLOPTS 0 -1 -1 0 0 0 255 0 }{R5MATHOBJ "1.2" 20 "6#$\"#7!\"\"" }0 }{CELL 3 7 {CELLOPTS 0 -1 -1 0 0 0 255 0 }{R5MATHOBJ "1.1" 20 "6#$\"#6!\"\"" }0 }{CELL 3 8 {CELLOPTS 0 -1 -1 0 0 0 255 0 }{R5MATHOBJ ".9" 20 "6#$\"\"*!\"\"" }0 } {CELL 3 9 {CELLOPTS 0 -1 -1 0 0 0 255 0 }{R5MATHOBJ ".8" 20 "6#$\"\")! \"\"" }0 }{CELL 3 10 {CELLOPTS 0 -1 -1 0 0 0 255 0 }{R5MATHOBJ ".6" 20 "6#$\"\"'!\"\"" }0 }{CELL 3 11 {CELLOPTS 0 -1 -1 0 0 0 255 0 } {R5MATHOBJ ".6" 20 "6#$\"\"'!\"\"" }0 }{CELL 3 12 {CELLOPTS 0 -1 -1 0 0 0 255 0 }{R5MATHOBJ ".5" 20 "6#$\"\"&!\"\"" }0 }}}}{EXCHG {PARA 0 " " 0 "" {TEXT -1 37 "rmittlen Sie eine Funktion d der Form" }}{PARA 0 " " 0 "" {XPPEDIT 18 0 "y := proc (x) options operator, arrow; a*exp(k*x ) end;" "6#>%\"yGR6#%\"xG7\"6$%)operatorG%&arrowG6\"*&%\"aG\"\"\"-%$ex pG6#*&%\"kGF/F'F/F/F,F,F," }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 54 ", deren Scha ubild die gegebenen Me\337werte gut ann\344hert." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{SECT 1 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 6 "L\366 sung" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 20 "restart:with(plots): " }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 35 "Zuerst mache ich mir eine \"S kizze\"!" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 167 "pkt1:=[0,2.8]; \npkt2:=[1,2.2];\npkt3:=[2,1.8];\npkt4:=[3,1.5];\npkt5:=[4,1.2];\npkt6 :=[5,1.1];\npkt7:=[6,0.9];\npkt8:=[7,0.8];\npkt9:=[8,0.6];\npkt10:=[9, 0.6];\npkt11:=[10,0.5];" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 76 " Liste:=[pkt1, pkt2, pkt3, pkt4, pkt5, pkt6, pkt7, pkt8, pkt9, pkt10, p kt11];" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 78 "plot(\{Liste\},0. .10,0..3,style=point,symbol=box,color=green,title=`Messwerte`);" }}} {EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 43 "Dies ist nun die Dicke d der Schau mschicht." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 158 "Um nun die Funktion bestimm en zu k\366nnen, ben\366tigt man ein Gleichungsystem mit zwei Gleichun gen, weil man wieder zwei Varibalen bestimmen mu\337, n\344mlich a und k." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 18 "d:=t->d0*exp(k*t);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 46 "Die N\344herungsfunktion und da s Gleichungssystem" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 29 "gl1:= d(0)=2.8;\ngl2:=d(5)=1.1;" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 24 "solve(\{gl1,gl2\},\{d0,k\});" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 10 "assign(%);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 200 "H ier habe ich nun mein Gleichungssystem von Maple l\366sen lassen. Mit \+ dem Befehl \"assign\" habe ich dann noch die Werte f\374r d0 und k die sen Variablen wieder zugewiesen. Mein N\344herungsfunktion lautet dann " }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 5 "d(t);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 47 "plot(d(t),t=0..10,0..3,title=`N\344herung skurve`);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 135 "pkte:=plot(\{ Liste\},0..10,0..3,style=point,symbol=box,color=green,title=`Schaubild `):\nkur:=plot(d(t),t=0..10,0..3):\ndisplay(\{pkte,kur\});" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 263 "Das ist nun die N\344herungskurve, die, \+ wie man ja sehen kann, sich den gegebenen Me\337werten gut ann\344hert . Je nach Wahl der einzelnen Punkte, die man zur Berechnung von d0 und k ben\374tzt, verschiebt sich die Kurve geringf\374gig entweder nach \+ oben oder nach weiter unten." }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 109 " Auch hier kann man das oben angewandte Iterationsverfahren und die Aus gleichsgerade nat\374rlich auch anwenden." }}}}{SECT 1 {PARA 4 "" 0 " " {TEXT -1 29 "L\366sung 2 mit Ausgleichsgerade" }}{EXCHG {PARA 0 "> \+ " 0 "" {MPLTEXT 1 0 48 "restart:with(stats):with(statplots):with(plots ):" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 67 "X:=[0,1,2,3,4,5,6,7,8 ,9];\nY:=[2.8,2.2,1.8,1.5,1.2,1.1,.9,.8,.6,.6];" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 12 "Die Me\337werte" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 51 "fit[leastsquare[[x,y],y=a*x+b]]([X,map(y->1/y,Y)]);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 31 "Berechnung der Ausgleichsgerade " }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 33 "as:=.1524356119: bs:=.2 611176679:" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 52 "Steigung und Achsen abschnitt meiner Ausgleichsgerade" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 15 "fs:=x->as*x+bs;" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 105 "display(scatterplot(X,map(y->1/y,Y),color=navy,symbo l=circle),plot(fs(x),x=0..9),title=Ausgleichsgerade);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 34 "\334bertragung auf die N\344herungskurve " }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 53 "a:=evalf(1/(as));\nb:=e valf(a*bs);\nf:=x->a/(x+b):f(x);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 194 "kur:=plot(f(x),x=0..9,0..3):\npkte:=plot(\{[0,2.8],[ 1,2.2],[2,1.8],[3,1.5],[4,1.2],[5,1.1],[6,.9],[7,.8],[8,.6],[9,.6]\},s tyle=point,symbol=box,color=green):\ndisplay(\{kur,pkte\},title=Annaeh erung);\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}}}}{MARK "0 0 0" 6 }{VIEWOPTS 1 1 0 1 1 1803 }