{VERSION 2 3 "IBM INTEL NT" "2.3" } {USTYLETAB {CSTYLE "Maple Input" -1 0 "Courier" 0 1 255 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 }{CSTYLE "2D Math" -1 2 "Times" 0 1 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "2D Comment" 2 18 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 } {CSTYLE "2D Output" 2 20 "" 0 1 0 0 255 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE " " -1 256 "Helvetica" 1 14 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 257 "Helvetica" 1 10 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 258 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 259 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 260 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 } {CSTYLE "" -1 261 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 262 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{PSTYLE "Normal" -1 0 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }0 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "Maple Output" 0 11 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }3 3 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "" 0 256 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }3 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }} {SECT 0 {PARA 256 "" 0 "" {TEXT 256 22 "Folgen und Grenzwerte\n" } {TEXT 257 41 " Oktober 97\nFabian Hust, VHumorus@aol.com" }}{PARA 0 " " 0 "" {TEXT 258 25 "Die verschiedenen Folgen:" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 20 "restart:with(plots):" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 " " {MPLTEXT 1 0 86 "plot(1/n,n=0..10,style=point,symbol=circle,title=`k onvergente Folge (mit Grenzwert)`);" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 166 " Maple kann Grenzwerte mit dem Befehl limit \"vorhersehen\". Bei diesem Beispiel ist dies leicht nachvollziehbar - strebt n gegen unendlich, \+ so liegt der Grenzwert bei 0" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 22 "limit(1/n,n=infinity);" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#\"\"!" } }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 86 "plot(n^4,n=0..10,style=poi nt,symbol=circle,title=`divergente Folge (ohne Grenzwert)`);" }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 22 "limit(n^4,n=infinity);" }} {PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#%)infinityG" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 43 "Auch das hat Maple richtig erkannt: Strebt " }{XPPEDIT 18 0 "n^ 4" "*$%\"nG\"\"%" }{TEXT -1 57 " gegen unendlich, so gibt es keinen Gr enzwert (unendlich " }{XPPEDIT 18 0 "infinity" "I)infinityG6\"" } {TEXT -1 2 ")." }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 83 "plot(n,n,s tyle=point,symbol=circle,title=`streng monotone Folge (ohne Grenzwert) `);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 20 "limit(n,n=infinity); " }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#%)infinityG" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 156 "Den Grenzwert kann man sich von Maple ausrechnen lassen, man kann ihn aber auch \"erahnen\". Hierzu ist es sinnvoll, eine Reih e von Zahlenfolgen darzustellen." }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 17 "seq(1/n,n=1..30);" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6@\"\"\"#F# \"\"##F#\"\"$#F#\"\"%#F#\"\"&#F#\"\"'#F#\"\"(#F#\"\")#F#\"\"*#F#\"#5#F #\"#6#F#\"#7#F#\"#8#F#\"#9#F#\"#:#F#\"#;#F#\"#<#F#\"#=#F#\"#>#F#\"#?#F #\"#@#F#\"#A#F#\"#B#F#\"#C#F#\"#D#F#\"#E#F#\"#F#F#\"#G#F#\"#H#F#\"#I" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 203 "Bei diesem Beispiel kann man ohne Pro bleme erkennen, da\337 der Grenzwert wohl 0 ist, schlie\337lich wird j a der Bruch immer kleiner. Wir k\366nnen Maple das (wohlgemerkt einfac hste) Beispiel auch rechnen lassen." }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 33 "Grenzwert:=limit(1/n,n=infinity);" }}{PARA 11 "" 1 " " {XPPMATH 20 "6#>%*GrenzwertG\"\"!" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 11 "D er Befehl " }{TEXT 259 5 "limit" }{TEXT -1 176 " kann also die Funktio n auf ihr Verhalten in der Unendlichkeit untersuchen. Das 'n' mu\337 h ierf\374r nat\374rlich als unendlich definiert werden. Maple benutzt d en englischen Ausdruck " }{TEXT 260 7 "infnity" }{TEXT -1 1 "." }} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 152 "if Grenzwert=infinity then \+ `Konvergente Folge` fi;\nif Grenzwert=0 then `Nullfolge (divergente Fo lge)`\nelse `Die Folge hat den Grenzwert:`:Grenzwert fi;\n" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#%=Nullfolge~(divergente~Folge)G" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 190 "Mit einer einfachen 'If-Schleife' l\344\337t sic h \374berpr\374fen, ob eine Folge einen Grenzwert g hat, eine Nullfolg e ist (der Grenzwert ist 0) oder gar unendlich ist. Ein paar Beispiele :\nBeispiel 1: " }{XPPEDIT 18 0 "(n+1)/(2*n)" "*&,&%\"nG\"\"\"\"\"\"F% F%*&\"\"#F%F$F%!\"\"" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 194 "Gre nzwert:=limit((n+1)/(2*n),n=infinity):\nif Grenzwert=infinity then `Ko nvergente Folge` fi;\nif Grenzwert=0 then `Nullfolge (divergente Folge )`\nelse `Die Folge hat den Grenzwert:`:Grenzwert fi;\n" }}{PARA 11 " " 1 "" {XPPMATH 20 "6#%=Die~Folge~hat~den~Grenzwert:G" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6##\"\"\"\"\"#" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 12 "Beis piel 2: " }{XPPEDIT 18 0 "(n+n^2)/(n+1)" "*&,&%\"nG\"\"\"*$F$\"\"#F%F% ,&F$F%\"\"\"F%!\"\"" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 197 "Gren zwert:=limit(((n+n^2)/(n+1)),n=infinity):\nif Grenzwert=infinity then \+ `Konvergente Folge` fi;\nif Grenzwert=0 then `Nullfolge (divergente Fo lge)`\nelse `Die Folge hat den Grenzwert:`:Grenzwert fi;" }}{PARA 11 " " 1 "" {XPPMATH 20 "6#%2Konvergente~FolgeG" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#%=Die~Folge~hat~den~Grenzwert:G" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#%)infinityG" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 11 "Beispiel 3 :" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 55 "plot(sin(x),x,style=poi nt,title=`Oszillierende Folge`);" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 11 "Beis piel 4:" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 88 "Punkteb:=[seq([i, rand()],i=1..50)]:\nplot(Punkteb,style=point,title=`Beschr\344nkte Fol ge`);" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 19 "Nun wollen wir das " }{XPPEDIT 18 0 "epsilon" "I(epsilonG6\"" }{TEXT -1 11 " berechnen:" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 44 "restart:with(plots):\nf:=x->1/(2*(n -50)^2+2);" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%\"fG:6#%\"xG6\"6$%)ope ratorG%&arrowGF(*$,&*$,&%\"nG\"\"\"!#]F1\"\"#F3F3F1!\"\"F(F(" }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 51 "plot(f(x),n=0.1..100,title=` Die Beispielfunktion`);" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 46 "Ausrechnen de s Grenzwertes f\374r diese Funktion:" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 34 "Grenzwert:=limit(f(x),n=infinity);" }}{PARA 11 "" 1 " " {XPPMATH 20 "6#>%*GrenzwertG\"\"!" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 16 "A usrechnung von " }{XPPEDIT 18 0 "epsilon" "I(epsilonG6\"" }{TEXT -1 1 ":" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 29 "Gl:=(f(x)-Grenzwert=ep silon);" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%#GlG/*$,&*$,&%\"nG\"\"\"! #]F+\"\"#F-F-F+!\"\"%(epsilonG" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 76 "Aufl \366sung der Gleichung; wir erhalten so die Schnittpunkte der Funktion mit " }{XPPEDIT 18 0 "epsilon" "I(epsilonG6\"" }{TEXT -1 1 "." }} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 72 "epsilon:=0.1:\nPunkte:=solve (Gl,n):\nxWert1:=Punkte[1];\nxWert2:=Punkte[2];" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%'xWert1G$\"#[\"\"!" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6 #>%'xWert2G$\"#_\"\"!" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 68 "P1 :=plot(f(x),n=0.1..60):\nP2:=plot(epsilon,0.1..60):\ndisplay(P1,P2);" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 88 "Erhalten wir zwei gleiche xWerte, so h aben wir die obere Schranke der Funktion gefunden." }}{EXCHG {PARA 0 " > " 0 "" {MPLTEXT 1 0 29 "solve(abs(f(n)) \+ " 0 "" {MPLTEXT 1 0 166 "epsilon:=0.5:\nPunkte:=solve(Gl,n):\nxWert1:= Punkte[1]:\nxWert2:=Punkte[2]:\nP1:=plot(f(x),n=0..60):\nP2:=plot(epsi lon,0..60):\nP3:=plot(-epsilon,0..60):\ndisplay(P1,P2,P3);" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 77 "Mit Maple lassen sich obere und untere Schranke ganz leicht mit den Befehlen " }{TEXT 261 9 "maximize " }{TEXT -1 25 "(obere Schranke) und mit " }{TEXT 262 8 "minimize" }{TEXT -1 29 " (un tere Schranke) berechnen." }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 15 "maximize(f(n));" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6##\"\"\"\"\"#" }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 15 "minimize(f(n));" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 60 "Dieses Ergebnis best\344tigt also unser obiges Ex perimentieren." }}}{MARK "24 0 0" 85 }{VIEWOPTS 1 1 0 1 1 1803 }