{VERSION 2 3 "IBM INTEL NT" "2.3" } {USTYLETAB {CSTYLE "Maple Input" -1 0 "Courier" 0 1 255 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 }{CSTYLE "2D Math" -1 2 "Times" 0 1 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "2D Comment" 2 18 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 } {CSTYLE "2D Output" 2 20 "" 0 1 0 0 255 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE " " -1 256 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 257 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 258 "" 0 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 259 "" 0 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 260 "" 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 261 "" 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 262 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 263 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 264 "" 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 265 "" 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 266 "" 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 267 "" 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 268 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 269 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 270 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 271 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 272 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 273 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 274 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 275 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 276 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" 18 277 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" 18 278 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" 18 279 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 280 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" 18 281 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 282 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 283 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 284 "" 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 285 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 286 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 287 "" 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 }{PSTYLE "Norm al" -1 0 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }0 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "Text Output" -1 2 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Courier" 1 10 0 0 255 1 0 0 0 0 0 1 3 0 0 }1 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "Heading 1" 0 3 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 1 18 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 }1 0 0 0 6 6 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "Heading 2" 3 4 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 1 14 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }0 0 0 -1 4 4 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "Heading 3" 4 5 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 1 12 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE " " 2 6 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 }0 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "Maple Output" 0 11 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }3 3 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 } {PSTYLE "" 11 12 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 } 1 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "Maple Plot" 0 13 1 {CSTYLE " " -1 -1 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }3 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "Title" 0 18 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 1 18 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 }3 0 0 -1 12 12 0 0 0 0 0 0 19 0 }{PSTYLE "Author" 0 19 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }3 0 0 -1 8 8 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "" 3 256 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 1 12 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }0 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "" 0 257 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }3 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "" 0 258 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }3 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "" 0 259 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }3 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "" 0 260 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }3 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "" 0 261 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }3 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "" 0 262 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }3 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "" 0 263 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }3 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }} {SECT 0 {EXCHG {PARA 18 "" 0 "" {TEXT -1 66 "Darstellung von geometris chen K\366rpern durch Koordinatengleichungen" }}{PARA 19 "" 0 "" {TEXT -1 181 "Projektarbeit CAS 12/2 von Alexander Kettler und Wolfgan g Steimle am Theodor-Heuss-Gymnasium Aalen\nErstellt w\344hrend einer \+ mehrw\366chigen Projektarbeitsphase und vorgetragen am 22.6.99" }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 8 "restart;" }}}{SECT 1 {PARA 3 "" 0 "" {TEXT -1 23 "Einf\374hrung ( W. Steimle)" }}{SECT 1 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 53 "Die analytische Ge ometrie in Geschichte und Gegenwart" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 381 "A ls Descartes das Koordinatensystem zur Beschreibung des Raumes einf \374hrte, machte er es m\366glich, geometrische Objekte mit Hilfe von \+ Zahlen darzustellen. Die geometrischen Objekte konnten als Menge von P unkten betrachtet werden. Dies er\366ffnete es den Mathematikern, die \+ Methoden der Algebra f\374r die Untersuchung r\344umlicher K\366rper z u verwenden: Die analytische Geometrie war geboren." }}{PARA 0 "" 0 " " {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 293 "In der Folgezeit macht e die Geometrie enorme Fortschritte - so konnten z. B. Schnittpunkte v on Kurven mit beliebiger Genauigkeit berechnet werden. Die Mathematike r entwarfen mehrere Methoden, geometrische K\366rper darzustellen. Ein e der wichtigsten Methoden ist die durch Koordinatengleichungen." }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 400 "Im Zeita lter der Computer-Grafik erlebt die analytische Geometrie einen enorme n Aufschwung: Die Arbeitsweise des Computers l\344sst ja keine Konstru ktionen zu, ein PC ist vielmehr auf Berechnung angewiesen. Jedoch auch f\374r \334berlegungen \374ber h\366herdimensionale R\344ume, wie sie unter Anderem in der Physik gebraucht werden, ist man auf abstrakte, \+ formale Methoden angewiesen, da die Anschauung hier versagt." }}} {SECT 1 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 17 "\334ber diese Arbeit" }}{PARA 0 " " 0 "" {TEXT -1 503 "In dieser Arbeit soll die Arbeitsweise mit Koordi natengleichungen als ein Verfahren der analytischen Geometrie vorgeste llt werden. Ziel ist es nicht, eine m\366glichst vollst\344ndige Besch reibung dieses Verfahrens zu liefern und alle Aspekte dieses doch sehr komplexen Themas abzudecken. Es soll vielmehr exemplarisch an einigen Beispielen in zwei- und dreidimensionalen R\344umen die Arbeitsweise \+ mit Koordinatengleichungen vorgestellt und dabei auch St\344rken und S chw\344chen dieses Verfahrens beleuchtet werden. " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 213 "Zuerst werden die mathem atischen Grundlagen dieses Verfahren kurz erl\344utert sowie die Hilfs mittel von MAPLE zur Verwendung von Koordinatengleichungen beleuchtet. Diese Kenntnisse werden im Folgenden vorausgesetzt." }}{PARA 0 "" 0 " " {TEXT -1 128 "Danach wird am Beispiel des Kreises erl\344utert, wie \+ man zu einer Koordinatengleichung f\374r einen zweidimensionalen K\366 rper gelangt." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 105 "Das n\344chste Kapitel \+ untersucht die Darstellung und Anwendungsm\366glichkeiten von geometri schen Abbildungen." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 250 "Es schlie\337t sic h ein Kapitel an, das grundlegende Rechentechniken der Koordinatenglei chungen zeigt, jeweils mit mindestens einem Beispiel. Wem diese Beispi ele nicht gen\374gen, der sei auf den Aufgabenteil verwiesen, der durc hweg Musterl\366sungen enth\344lt." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 368 "Im folgenden Teil wird an Hand einer \"Computer-Grafik\" gezeigt, dass d ie analytische Geometrie nicht nur f\374r \"trocken-mathematische\" \+ \334berlegungen verwendet werden kann, sondern ihre Anwendung sich auf weitere Bereiche erstreckt. Dabei wird zugleich untersucht, wie sich \+ auf Grund von \304nderungen der Koeffizienten in den Gleichungen die d argestellten Objekte ver\344ndern." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 188 "Zu letzt werden wir dem Leser die Gelegenheit geben, an Hand von Aufgaben zu testen, ob er unsere Ausf\374hrungen verstanden hat und f\344hig i st, diese Kenntnisse auf andere Probleme anzuwenden." }}{PARA 0 "" 0 " " {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 649 "Wer von dieser Arbeit \+ erwartet, dass er eine umfassenden Einf\374hrung in das Verfahren der \+ Koordinatengleichungen inklusive Ausf\374hrung aller M\366glichkeiten \+ bekommt, wird wohl nicht das finden, was er erwartet. So werden z. B. \+ Schnittprobleme nur am Rande dargestellt, obwohl sie auf Grund der ein fachen Handhabung mit Koordinatengleichungen sowie der mathematischen \+ Bedeutung mehr Platz verdient h\344tten. Diese Arbeit richtet sich an \+ die, einen kurzen Einblick in die Arbeitsweise mit Koordinatengleichun gen erhalten m\366chten, dabei grundlegende Verfahren der Mathematik k ennenlernen und ihre Kenntnisse in MAPLE vertiefen wollen. Wir w\374ns chen viel Spa\337!" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}{SECT 1 {PARA 3 "" 0 "" {TEXT -1 48 "Grundlage: die Koordinatengleichung (W. Steimle )" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 405 "Die in diesem Kapitel vorgestellten Grundlagen werden in den folgenden Kapiteln vorausgesetzt. Der erste \+ Abschnitt befasst sich mit der Darstellung des mathematischen Prinzips , auf dem die Darstellung von geometrischen K\366rpern durch Koordinat engleichungen beruht. Im zweiten Abschnitt werden die wichtigsten Bef ehle vorgestellt, die MAPLE zur Erleichterung der Arbeit mit Koordinat engleichungen anbietet." }}{SECT 1 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 24 "Mathem atische Grundlagen" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 19 "Zugrunde liege ein \+ " }{TEXT 257 1 "n" }{TEXT -1 33 "-dimensionales Koordinatensystem." }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 90 "Gegeben sei ein geometrischer K\366rper K . Findet man nun eine Gleichung g mit den Variablen " }{XPPEDIT 18 0 " x[1], x[2]" "6$&%\"xG6#\"\"\"&F$6#\"\"#" }{TEXT -1 7 ", ..., " } {XPPEDIT 18 0 "x[n]" "&%\"xG6#%\"nG" }{TEXT -1 41 ", sodass die Koordi naten jedes Punktes P(" }{XPPEDIT 18 0 "x[1]" "&%\"xG6#\"\"\"" }{TEXT -1 1 "/" }{XPPEDIT 18 0 "x[2]" "&%\"xG6#\"\"#" }{TEXT -1 5 "/.../" } {XPPEDIT 18 0 "x[n]" "&%\"xG6#%\"nG" }{TEXT -1 281 " ) des K\366rpers \+ K die Gleichung g erf\374llen, andererseits die Koordinaten jedes Punk tes, der nicht zu K geh\366rt, die Gleichung g nicht erf\374llen, so i st die Gleichung g eine Darstellung des K\366rpers K. K ist dann die M enge aller Punkte, f\374r die die Koordinaten die Gleichung g erf\374l len." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 107 "In unserer Arbeit werden wir uns auf kartesische zwei- und dreidimensionale Koordinatensysteme beschr \344nken." }}}{SECT 1 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 31 "Koordinatengleichun gen in MAPLE" }}{SECT 1 {PARA 5 "" 0 "" {TEXT 258 12 "implicitplot" } {TEXT -1 5 " und " }{TEXT 259 14 "implicitplot3d" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 104 "Zur Darstellung von K\366rpern, die durch Koordinatengle ichungen gegeben sind, bietet MAPLE die Prozeduren " }{TEXT 260 12 "im plicitplot" }{TEXT 262 1 " " }{TEXT -1 3 "und" }{TEXT 263 1 " " } {TEXT 261 14 "implicitplot3d" }{TEXT -1 17 " aus dem Package " }{TEXT 264 5 "plots" }{TEXT -1 183 " an. Als erster Parameter wird die Gleich ung angegeben, danach die Bereiche in x-, y- Richtung (sowie z-Richtun g bei dreidimensionalen K\366rpern). Es k\366nnen alle Parameter der P rozedur " }{TEXT 265 4 "plot" }{TEXT -1 19 " angegeben werden. " }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 9 "Beispiel:" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 49 "with(plots): implicitplot(x=y, x=-3..3, y=-3..3);" }} {PARA 13 "" 1 "" {TEXT -1 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 61 "implicitplot3d(x-y=z, x=-3..3, y=-3..3, z=-6..6, axes=boxed);" } }{PARA 13 "" 1 "" {TEXT -1 0 "" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}} {SECT 1 {PARA 5 "" 0 "" {TEXT -1 47 "Koordinatengleichungen zweidimens ionaler K\366rper" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 186 "MAPLE bietet auch d ie M\366glichkeit, f\374r viele zweidimensionale geometrische Objekte \+ die Koordinatengleichung anzugeben. Zuerst m\374ssen die Objekte mit H ilfe der Prozeduren aus dem package " }{TEXT 266 8 "geometry" }{TEXT -1 58 " definiert werden. Anschlie\337end kann man mit der Prozedur " }{TEXT 267 8 "Equation" }{TEXT -1 24 " die Gleichung erzeugen." }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 23 "Auch hier ein Beispiel:" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 86 "with(geometry): circle(MeinKreis, [point( A,1,1), point(B,3,4), point(C,-3,0)], [x,y]):" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 123 "Dieser Befehl erstellt einen Kreis mit dem Namen MeinKre is durch die Punkte A(1/1), B(3/4), C(-3/0) mit den Achsen x und y." } }{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 20 "Equation(MeinKreis);" }} {PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#/,,*$%\"xG\"\"#\"\"\"#\"#@\"\"&F(*$%\" yGF'F(F&#\"#AF+F-#!#`F+\"\"!" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 23 "Vermitte ls des Befehls " }{TEXT 284 6 "detail" }{TEXT -1 70 " k\366nnen alle M APLE bekannten Angaben \374ber das Objekt abgefragt werden:" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 18 "detail(MeinKreis);" }}{PARA 6 "" 1 "" {TEXT -1 32 " name of the object: MeinKreis" }}{PARA 6 "" 1 "" {TEXT -1 31 " form of the object: circle2d" }}{PARA 6 "" 1 "" {TEXT -1 39 " name of the center: center_MeinKreis" }}{PARA 6 "" 1 "" {TEXT -1 44 " coordinates of the center: [-11/5, 53/10]" }}{PARA 6 " " 1 "" {TEXT -1 51 " radius of the circle: 1/100*2873^(1/2)*100^(1/2 )" }}{PARA 6 "" 1 "" {TEXT -1 57 " equation of the circle: x^2+21/5+ y^2+22/5*x-53/5*y = 0" }}{PARA 6 "" 1 "" {TEXT -1 0 "" }}}}}}{SECT 1 {PARA 3 "" 0 "" {TEXT -1 22 "Der Kreis (W. Steimle)" }}{PARA 0 "" 0 " " {TEXT -1 469 "Am Beispiel des Kreises soll hier erl\344utert werden, wie man eine Koordinatengleichung zweidimensionaler K\366rper herleit en kann. Generell ist die Darstellung von geometrischen K\366rpern bei diesem Verfahren immer durch eine Gleichung gegeben. Auf Grund dieser Einheitlichkeit ist es insbesondere m\366glich, auch mit unbekannten \+ K\366rpern zu rechnen, d. h. das Rechnen mit den Gleichungen h\344ngt \+ nicht von der Kenntnis besonderer Eigenschaften der K\366rper, die sie darstellen, ab." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 97 "Der Kreis um M mit dem Radius r ist die Menge aller Punkt e P, deren Entfernung zu M gleich r ist." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 78 "Wir betrachten zun\344chst Kreise, deren Mittelpunkt der Koordinat enursprung ist." }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 402 "restart; with(plots): with(plottools):\nKreis := circle([0,0], 1, color=red): \nPunkt := pointplot([sqrt(3)/2, 1/2]):\nDreieck := polygonplot([[0,0] , [sqrt(3)/2,1/2], [sqrt(3)/2,0]], color=green, style=line): \nText1:= textplot([[0.9,1/2, `P(x/y)`], [0.4,0, `x`], [0.9,0.2, `y`]], align= \{ABOVE, RIGHT\}):\nText2 := textplot([0.5,0.3, `r`], align=\{BELOW, R IGHT\}):\ndisplay(\{Kreis, Punkt,Dreieck,Text1, Text2\});" }}{PARA 13 "" 1 "" {INLPLOT "6)-%'POINTSG6#7$$\"+SSDg')!#5$\"+++++]F)-%)POLYGONSG 6%7%7$\"\"!F1F&7$F'F1-%'COLOURG6&%$RGBGF1$\"*++++\"!\")F1-%&STYLEG6#%% LINEG-%'CURVESG6$7U7$$\"\"\"F1F17$$\"+8q9@**F)$\"+OBL`7F)7$$\"+6;$eo*F )$\"+s))*o[#F)7$$\"+f[w(H*F)$\"+FbC\"o$F)7$$\"++o1j()F)$\"+Tn`<[F)7$$ \"+X*p,4)F)$\"+?D&y(eF)7$$\"+tio*G(F)$\"+g5ZXoF)7$$\"+(*)RUP'F)$\"+GC8 0xF)7$$\"+^zEe`F)$\"+a#zKW)F)7$$\"+=HzdUF)$\"+B0F[!*F)7$$\"+X*p,4$F)$ \"+g^c5&*F)7$$\"+UJ\"Q(=F)$\"+3D(G#)*F)7$$\"+D>0zi!#6$\"+%Gn-)**F)7$$! +D>0ziFipFjp7$$!+UJ\"Q(=F)Fdp7$$!+X*p,4$F)F_p7$$!+=HzdUF)Fjo7$$!+^zEe` F)Feo7$$!+(*)RUP'F)F`o7$$!+tio*G(F)F[o7$$!+X*p,4)F)Ffn7$$!++o1j()F)FW7 $$!+f[w(H*F)FR7$$!+6;$eo*F)FM7$$!+8q9@**F)FH7$$!\"\"F1F17$F^s$!+OBL`7F )7$F[s$!+s))*o[#F)7$Fhr$!+FbC\"o$F)7$Fer$!+Tn`<[F)7$Fbr$!+?D&y(eF)7$F_ r$!+g5ZXoF)7$F\\r$!+GC80xF)7$Fiq$!+a#zKW)F)7$Ffq$!+B0F[!*F)7$Fcq$!+g^c 5&*F)7$F`q$!+3D(G#)*F)7$F]q$!+%Gn-)**F)7$FgpFeu7$FbpFbu7$F]pF_u7$FhoF \\u7$FcoFit7$F^oFft7$FinFct7$FZF`t7$FUF]t7$FPFjs7$FKFgs7$FFFdsFB-F46&F 6F7F1F1-%%TEXTG6&7$$\"\"&Fbs$\"\"$Fbs%\"rG%+ALIGNRIGHTG%+ALIGNBELOWG-F fv6&7$$\"\"*FbsF*%'P(x/y)G%+ALIGNABOVEGF^w-Ffv6&7$$\"\"%FbsF1%\"xGFfwF ^w-Ffv6&7$Fcw$\"\"#Fbs%\"yGFfwF^w" 2 254 254 254 2 0 1 0 2 9 0 4 2 1.000000 45.000000 45.000000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 138 9 0 0 0 0 0 0 }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 83 "Das Dreieck in d er Zeichnung ist rechtwinklig. Damit gilt laut Satz des Pythagoras " } {XPPEDIT 18 0 "x^2 + y^2 = r^2" "/,&*$%\"xG\"\"#\"\"\"*$%\"yGF&F'*$%\" rGF&" }{TEXT -1 18 " (1). Da der Term " }{XPPEDIT 18 0 "x^2+y^2" ",&*$ %\"xG\"\"#\"\"\"*$%\"yGF%F&" }{TEXT -1 230 " das Quadrat der Entfernun g vom Koordinatenursprung angibt, gilt diese Gleichung f\374r alle Pun kte P auf dem Kreis. F\374r alle anderen Punkte ist die Gleichung nich t erf\374llt. Damit ist die Gleichung (1) eine Darstellung f\374r den \+ Kreis." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT 256 9 "Ergebnis:" }{TEXT -1 84 " Ein K reis um den Koordinatenursprung mit dem Radius r hat die Koordinatengl eichung " }{XPPEDIT 18 0 "x^2 + y^2 = r^2" "/,&*$%\"xG\"\"#\"\"\"*$%\" yGF&F'*$%\"rGF&" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT 276 9 "Beispiel:" }{TEXT -1 78 " Ein Kreis um den Ursprung mit d em Radius 2 LE hat demnach folgende Gleichung:" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 23 "Gleichung := x^2+y^2=4;" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%*GleichungG/,&*$%\"xG\"\"#\"\"\"*$%\"yGF)F*\"\"%" }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 56 "with(plots): implicitplot(Gl eichung, x=-2..2, y=-2..2 );" }}{PARA 13 "" 1 "" {TEXT -1 0 "" }}} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 178 "Um auch \+ Kreise, deren Mittelpunkte nicht im Koordinatenursprung liegen, mit Gl eichungen ausdr\374cken zu k\366nnen, betrachten wir zun\344chst mathe matische Darstellungen von Abbildungen." }}}{SECT 1 {PARA 3 "" 0 "" {TEXT -1 37 "Geometrische Abbildungen (W. Steimle)" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 497 "In diesem Kapitel wird die mathematische Darstellung von geometrischen Abbildungen durch Gleichungen exemplarisch an der Paral lelverschiebung und der axialen Streckung dargestellt. Weiterhin wird \+ aus diesem Wissen Kapital geschlagen, indem Gleichungen f\374r weitere geometrische K\366rper hergeleitet werden. Der abschlie\337ende Absch nitt untersucht den Zusammenhang zwischen geometrischen Abbildungen un d der Symmetrie von K\366rpern. Doch auch hier zun\344chst eine Darste llung der mathematischen Grundlagen." }}{SECT 1 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 24 "Mathematische Grundlagen" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 49 "Gegebe n seien zwei identisch aufeinanderliegende " }{TEXT 268 1 "n" }{TEXT -1 53 "-dimensionale Koordinatensysteme mit den Koordinaten " } {XPPEDIT 18 0 "x[1], x[2]" "6$&%\"xG6#\"\"\"&F$6#\"\"#" }{TEXT -1 7 ", ..., " }{XPPEDIT 18 0 "x[n]" "&%\"xG6#%\"nG" }{TEXT -1 6 " bzw. " } {XPPEDIT 18 0 "xquer[1], xquer[2]" "6$&%&xquerG6#\"\"\"&F$6#\"\"#" } {TEXT -1 7 ", ..., " }{XPPEDIT 18 0 "xquer[n]" "&%&xquerG6#%\"nG" } {TEXT -1 158 ". Urpunkte ( = abzubildende Punkte und Figuren) werden i m ersten, Bildpunkte ( = abgebildete Punkte) im zweiten Koordinatensys tem beschrieben. Eine Abbildung " }{XPPEDIT 18 0 "alpha" "I&alphaG6\" " }{TEXT -1 22 " ordnet jedem Punkt P(" }{XPPEDIT 18 0 "x[1]" "&%\"xG6 #\"\"\"" }{TEXT -1 1 "/" }{XPPEDIT 18 0 "x[2]" "&%\"xG6#\"\"#" }{TEXT -1 5 "/.../" }{XPPEDIT 18 0 "x[n]" "&%\"xG6#%\"nG" }{TEXT -1 30 ") gen au einen Bildpunkt Pquer(" }{XPPEDIT 18 0 "xquer[1]" "&%&xquerG6#\"\" \"" }{TEXT -1 1 "/" }{XPPEDIT 18 0 "xquer[2]" "&%&xquerG6#\"\"#" } {TEXT -1 5 "/.../" }{XPPEDIT 18 0 "xquer[n]" "&%&xquerG6#%\"nG" } {TEXT -1 177 ") zu. Somit ist jede Koordinate des Bildpunktes durch di e Koordinaten des Urpunktes eindeutig bestimmt. Dieser Zusammenhang l \344sst sich oft auch in Gleichungen angeben. In einem " }{TEXT 269 1 "n" }{TEXT -1 37 "-dimensionalen Raum kommt man so auf " }{TEXT 270 1 "n" }{TEXT -1 44 " Abbildungsgleichungen der allgemeinen Form " } {XPPEDIT 18 0 "xquer[i]=f[1](x[1]) + f[2](x[2])" "/&%&xquerG6#%\"iG,&- &%\"fG6#\"\"\"6#&%\"xG6#F,F,-&F*6#\"\"#6#&F/6#F4F," }{TEXT -1 9 " + .. . + " }{XPPEDIT 18 0 "f[n](x[n]" "-&%\"fG6#%\"nG6#&%\"xG6#F&" }{TEXT -1 1 "." }}}{SECT 1 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 20 "Parallelverschiebung " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 122 "Ein Kreis um den Ursprung mit dem Ra dius 1 soll so parallelverschoben werden, dass sein Mittelpunkt im Pun kt (3/0) liegt. " }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 418 "restart ; with(plots): with(plottools):\nKreis := circle([0,0], 1, color=green ):\nKreisneu := circle([3,0], 1, color=red):\nPunkte := pointplot([[0. 5, sqrt(3)/2], [3.5,sqrt(3)/2]], color=black, scaling=constrained):\nL inie := polygonplot([[0.5, sqrt(3)/2], [3.5, sqrt(3)/2]]):\nText := te xtplot([[0.55, sqrt(3)/2+0.05, `P(x/y)`], [3.9,sqrt(3)/2+0.05, `Pquer( xquer/yquer)`]]):\ndisplay(\{Kreis, Kreisneu, Punkte, Linie, Text\}); " }}{PARA 13 "" 1 "" {INLPLOT "6)-%)POLYGONSG6#7$7$$\"\"&!\"\"$\"+SSDg ')!#57$$\"#NF*F+-%%TEXTG6$7$$\"#b!\"#$\"+SSDg\"*F-%'P(x/y)G-F26$7$$\"# RF*F8%3Pquer(xquer/yquer)G-%'CURVESG6$7U7$$\"\"\"\"\"!FH7$$\"+8q9@**F- $\"+OBL`7F-7$$\"+6;$eo*F-$\"+s))*o[#F-7$$\"+f[w(H*F-$\"+FbC\"o$F-7$$\" ++o1j()F-$\"+Tn`<[F-7$$\"+X*p,4)F-$\"+?D&y(eF-7$$\"+tio*G(F-$\"+g5ZXoF -7$$\"+(*)RUP'F-$\"+GC80xF-7$$\"+^zEe`F-$\"+a#zKW)F-7$$\"+=HzdUF-$\"+B 0F[!*F-7$$\"+X*p,4$F-$\"+g^c5&*F-7$$\"+UJ\"Q(=F-$\"+3D(G#)*F-7$$\"+D>0 zi!#6$\"+%Gn-)**F-7$$!+D>0ziF]qF^q7$$!+UJ\"Q(=F-Fhp7$$!+X*p,4$F-Fcp7$$ !+=HzdUF-F^p7$$!+^zEe`F-Fio7$$!+(*)RUP'F-Fdo7$$!+tio*G(F-F_o7$$!+X*p,4 )F-Fjn7$$!++o1j()F-Fen7$$!+f[w(H*F-FV7$$!+6;$eo*F-FQ7$$!+8q9@**F-FL7$$ F*FHFH7$Fbs$!+OBL`7F-7$F_s$!+s))*o[#F-7$F\\s$!+FbC\"o$F-7$Fir$!+Tn`<[F -7$Ffr$!+?D&y(eF-7$Fcr$!+g5ZXoF-7$F`r$!+GC80xF-7$F]r$!+a#zKW)F-7$Fjq$! +B0F[!*F-7$Fgq$!+g^c5&*F-7$Fdq$!+3D(G#)*F-7$Faq$!+%Gn-)**F-7$F[qFhu7$F fpFeu7$FapFbu7$F\\pF_u7$FgoF\\u7$FboFit7$F]oFft7$FhnFct7$FYF`t7$FTF]t7 $FOFjs7$FJFgsFE-%'COLOURG6&%$RGBGFH$\"*++++\"!\")FH-FB6$7U7$$\"\"%FHFH 7$$\"+,Z6#*R!\"*FL7$$\"+hJeoRFfwFQ7$$\"+'[w(HRFfwFV7$$\"+!o1j(QFfwFen7 $$\"+&*p,4QFfwFjn7$$\"+F'o*GPFfwF_o7$$\"+!*RUPOFfwFdo7$$\"+&zEe`$FfwFi o7$$\"+#HzdU$FfwF^p7$$\"+&*p,4LFfwFcp7$$\"+98Q(=$FfwFhp7$$\"+>0ziIFfwF ^q7$$\"+\"[4s$HFfwF^q7$$\"+'o=E\"GFfwFhp7$$\"+1I)4p#FfwFcp7$$\"+32AuDF fwF^p7$$\"+0K#Ff wFjn7$$\"+?LpB@FfwFen7$$\"+9NAq?FfwFV7$$\"+RoTJ?FfwFQ7$$\"+*H&)y+#FfwF L7$$\"\"#FHFH7$Fj[lFgs7$Fg[lFjs7$Fd[lF]t7$Fa[lF`t7$F^[lFct7$F[[lFft7$F hzFit7$FezF\\u7$FbzF_u7$F_zFbu7$F\\zFeu7$FiyFhu7$FfyFhu7$FcyFeu7$F`yFb u7$F]yF_u7$FjxF\\u7$FgxFit7$FdxFft7$FaxFct7$F^xF`t7$F[xF]t7$FhwFjs7$Fd wFgsF`w-Fgv6&FivFjvFHFH-%'POINTSG6%F'F.-Fgv6&FivFHFHFH-%(SCALINGG6#%,C ONSTRAINEDG" 2 365 365 365 2 0 1 0 2 9 0 4 1 1.000000 45.000000 45.000000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 13820 0 0 0 0 0 0 }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 116 "Die yquer-Koordinate eines Punkte s Pquer ist die y-Koordinate des Punktes P. In Koordinatengleichungen \+ ausgedr\374ckt: " }{XPPEDIT 18 0 "yquer = y" "/%&yquerG%\"yG" }{TEXT -1 185 ". Die xquer-Koordinate von Pquer ist um 3 gr\366\337er als die x-Koordinate von P, da der Kreis ja um 3 LE nach rechts (in x-Richtun g) verschoben wurde; die zugeh\366rige Gleichung hei\337t somit: " } {XPPEDIT 18 0 "xquer=x+3" "/%&xquerG,&%\"xG\"\"\"\"\"$F&" }{TEXT -1 1 "." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT 271 10 "Allgemein:" }{TEXT -1 27 " Bei ein er Verschiebung um " }{XPPEDIT 18 0 "x[0]" "&%\"xG6#\"\"!" }{TEXT -1 29 " Einheiten in x-Richtung und " }{XPPEDIT 18 0 "y[0]" "&%\"yG6#\"\" !" }{TEXT -1 59 " Einheiten in y-Richtung lauten die Abbildungsgleichu ngen: " }{XPPEDIT 18 0 "xquer = x + x[0]" "/%&xquerG,&%\"xG\"\"\"&F%6# \"\"!F&" }{TEXT -1 5 " und " }{XPPEDIT 18 0 "yquer = y + y[0]" "/%&yqu erG,&%\"yG\"\"\"&F%6#\"\"!F&" }{TEXT -1 2 ". " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 139 "Verschiebungen entgegen den Koordinatenachsen lassen sic h auffassen als Verschiebungen um negative Werte in Richtung der Koord inatenachsen." }}}{SECT 1 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 34 "Kreisgleichunge n beliebiger Kreise" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 96 "Mit Hilfe der Para llelverschiebung k\366nnen wir nun auch beliebige Kreise mathematisch \+ darstellen:" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 50 "Ein Kreis K mit dem Radius r und dem Mittelpunkt (" }{XPPEDIT 18 0 "x[1]" "&%\"xG6#\"\"\"" } {TEXT -1 1 "/" }{XPPEDIT 18 0 "y[1]" "&%\"yG6#\"\"\"" }{TEXT -1 62 ") \+ l\344sst sich auffassen als Parallelverschiebung eines Kreises " } {XPPEDIT 18 0 "K[0]" "&%\"KG6#\"\"!" }{TEXT -1 41 " mit dem Radius r u m den Ursprung (d. h. " }{XPPEDIT 18 0 "K=Kquer[0]" "/%\"KG&%&KquerG6# \"\"!" }{TEXT -1 80 "). Da der Mittelpunkt vorher die Koordinaten (0/0 ) und nachher die Koordinaten (" }{XPPEDIT 18 0 "x[1]" "&%\"xG6#\"\"\" " }{TEXT -1 1 "/" }{XPPEDIT 18 0 "y[1]" "&%\"yG6#\"\"\"" }{TEXT -1 41 ") hat, erfolgt die Verschiebung dabei um " }{XPPEDIT 18 0 "x[1]" "&% \"xG6#\"\"\"" }{TEXT -1 36 " Einheiten in die x-Richtung und um " } {XPPEDIT 18 0 "y[1]" "&%\"yG6#\"\"\"" }{TEXT -1 68 "Einheiten in die y -Richtung; sie hat also die Abbildungsgleichungen " }{XPPEDIT 18 0 "xq uer=x+x[1]" "/%&xquerG,&%\"xG\"\"\"&F%6#F&F&" }{TEXT -1 5 " und " } {XPPEDIT 18 0 "yquer=y+y[1]" "/%&yquerG,&%\"yG\"\"\"&F%6#F&F&" }{TEXT -1 2 ". " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 4 "Die " }{TEXT 272 24 "Koordinat engleichung von" }{TEXT -1 1 " " }{XPPEDIT 277 0 "K[0]" "&%\"KG6#\"\"! " }{TEXT -1 5 " ist " }{XPPEDIT 18 0 "x^2+y^2 = r^2" "/,&*$%\"xG\"\"# \"\"\"*$%\"yGF&F'*$%\"rGF&" }{TEXT -1 38 ". Aus den Abbildungsgleichun gen folgt " }{XPPEDIT 18 0 "x=xquer-x[1]" "/%\"xG,&%&xquerG\"\"\"&F#6# F&!\"\"" }{TEXT -1 5 " und " }{XPPEDIT 18 0 "y=yquer-y[1]" "/%\"yG,&%& yquerG\"\"\"&F#6#F&!\"\"" }{TEXT -1 51 ". Eingesetzt in die Kreisgleic hung ergibt dies als " }{TEXT 273 13 "Gleichung von" }{TEXT -1 1 " " } {XPPEDIT 278 0 "Kquer[0]" "&%&KquerG6#\"\"!" }{TEXT 274 2 ": " } {XPPEDIT 18 0 "(xquer-x[1])^2+(yquer-y[1])^2 = r^2;" "/,&*$,&%&xquerG \"\"\"&%\"xG6#F'!\"\"\"\"#F'*$,&%&yquerGF'&%\"yG6#F'F+F,F'*$%\"rGF," } {TEXT -1 8 ". Wegen " }{XPPEDIT 18 0 "K=Kquer[0]" "/%\"KG&%&KquerG6#\" \"!" }{TEXT -1 82 " und der Idendit\344t der beiden Koordinatensysteme x-y und xquer-yquer ist also die " }{TEXT 275 28 "Gleichung eines Kre ises um (" }{XPPEDIT 281 0 "x[1]" "&%\"xG6#\"\"\"" }{TEXT 282 1 "/" } {XPPEDIT 279 0 "y[1]" "&%\"yG6#\"\"\"" }{TEXT 280 2 "):" }{TEXT -1 1 " " }{XPPEDIT 18 0 "(x-x[1])^2+(y-y[1])^2 = r^2" "/,&*$,&%\"xG\"\"\"&F& 6#F'!\"\"\"\"#F'*$,&%\"yGF'&F.6#F'F*F+F'*$%\"rGF+" }{TEXT -1 1 "." }}} {SECT 1 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 16 "Axiale Streckung" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 111 "Im Folgenden soll ein Kreis in einer axialen Streckun g bez\374glich der x-Achse um den Faktor 2 abgebildet werden." }} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 418 "restart; with(plots): with( plottools):\nKreis := circle([0,0], 1, color=green):\nKreisneu := elli pse([0,0], 1, 2, color=red):\nPunkte := pointplot([[0.5, sqrt(3)/2], [ 0.5,sqrt(3)]], color=black, scaling=constrained):\nLinie := polygonplo t([[0.5, sqrt(3)/2], [0.5, sqrt(3)]]):\nText := textplot([[0.55, sqrt( 3)/2+0.05, `P(x/y)`], [0.9,sqrt(3)+0.05, `Pquer(xquer/yquer)`]]):\ndis play(\{Kreis, Kreisneu, Punkte, Linie, Text\}); \n" }}{PARA 13 "" 1 " " {INLPLOT "6)-%'POINTSG6%7$$\"\"&!\"\"$\"+SSDg')!#57$F'$\"+330K0zi!#6$\"+%Gn-)**F,7$$!+D>0ziFg qFhq7$$!+UJ\"Q(=F,Fbq7$$!+X*p,4$F,F]q7$$!+=HzdUF,Fhp7$$!+^zEe`F,Fcp7$$ !+(*)RUP'F,F^p7$$!+tio*G(F,Fio7$$!+X*p,4)F,Fdo7$$!++o1j()F,F_o7$$!+f[w (H*F,Fjn7$$!+6;$eo*F,Fen7$$!+8q9@**F,FV7$$F)F5F57$F\\t$!+OBL`7F,7$Fis$ !+s))*o[#F,7$Ffs$!+FbC\"o$F,7$Fcs$!+Tn`<[F,7$F`s$!+?D&y(eF,7$F]s$!+g5Z XoF,7$Fjr$!+GC80xF,7$Fgr$!+a#zKW)F,7$Fdr$!+B0F[!*F,7$Far$!+g^c5&*F,7$F ^r$!+3D(G#)*F,7$F[r$!+%Gn-)**F,7$FeqFbv7$F`qF_v7$F[qF\\v7$FfpFiu7$FapF fu7$F\\pFcu7$FgoF`u7$FboF]u7$F]oFjt7$FhnFgt7$FYFdt7$FTFatFP-F26&F4F5$ \"*++++\"!\")F5-FM6$7UFP7$FT$\"+sYm1DF,7$FY$\"+Wxzt\\F,7$Fhn$\"+a5\\it F,7$F]o$\"+#[t]j*F,7$Fbo$\"+/0dv6F07$Fgo$\"+7U4p8F07$F\\p$\"+'[E5a\"F0 7$Fap$\"+^el)o\"F07$Ffp$\"+0Tl4=F07$F[q$\"+KI6->F07$F`q$\"+-Xdk>F07$Fe q$\"+dM0'*>F07$F[rFjy7$F^rFgy7$FarFdy7$FdrFay7$FgrF^y7$FjrF[y7$F]sFhx7 $F`sFex7$FcsFbx7$FfsF_x7$FisF\\x7$F\\tFiwF^t7$F\\t$!+sYm1DF,7$Fis$!+Wx zt\\F,7$Ffs$!+a5\\itF,7$Fcs$!+#[t]j*F,7$F`s$!+/0dv6F07$F]s$!+7U4p8F07$ Fjr$!+'[E5a\"F07$Fgr$!+^el)o\"F07$Fdr$!+0Tl4=F07$Far$!+KI6->F07$F^r$!+ -Xdk>F07$F[r$!+dM0'*>F07$FeqFj\\l7$F`qFg\\l7$F[qFd\\l7$FfpFa\\l7$FapF^ \\l7$F\\pF[\\l7$FgoFh[l7$FboFe[l7$F]oFb[l7$FhnF_[l7$FYF\\[l7$FTFizFP-F 26&F4FbwF5F5-%(SCALINGG6#%,CONSTRAINEDG" 2 365 365 365 2 0 1 0 2 9 0 4 1 1.000000 45.000000 45.000000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 -16415 -31490 0 0 0 0 0 0 }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 236 "Die x-Koordinate von P \344ndert sich bei der Abbildung nach Pquer nicht. Die Koordinatengleichung hei\337t also: xquer = x. Die yquer-Koordina te von Pquer ist doppelt so gro\337 als die x-Koordinate von P; die zu geh\366rige Gleichung hei\337t somit: " }{XPPEDIT 18 0 "xquer=2*x" "/% &xquerG*&\"\"#\"\"\"%\"xGF&" }{TEXT -1 1 "." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT 283 10 "Allgemein:" }{TEXT -1 101 " Bei einer axialen Streckung bez \374glich der x-Achse um den Faktor k lauten die Abbildungsgleichungen : " }{XPPEDIT 18 0 "xquer = k*x " "/%&xquerG*&%\"kG\"\"\"%\"xGF&" } {TEXT -1 5 " und " }{XPPEDIT 18 0 "yquer = y " "/%&yquerG%\"yG" } {TEXT -1 79 ". Analoge \334berlegungen liefern f\374r eine axiale Stre ckung bez\374glich der y-Achse " }{XPPEDIT 18 0 "xquer=x" "/%&xquerG% \"xG" }{TEXT -1 5 " und " }{XPPEDIT 18 0 "yquer = k*y" "/%&yquerG*&%\" kG\"\"\"%\"yGF&" }{TEXT -1 1 "." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}} {SECT 1 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 11 "Die Ellipse" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 95 "Wird ein Kreis in einer axialen Streckung abgebildet, so \+ ist das entstandene Bild eine Ellipse." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 188 "Wir gehen davon aus, dass der Kreis um den Koordinatenursprung mi t dem Radius r in einer axialen Streckung bez\374glich der x-Achse um \+ den Faktor k abgebildet wird. Die Kreisgleichung lautet:" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 23 "Kreisgl := x^2+y^2=r^2;" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%(KreisglG/,&*$%\"xG\"\"#\"\"\"*$%\"yGF)F** $%\"rGF)" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 34 " Die Abbildungsgleichungen l auten " }{XPPEDIT 18 0 "xquer = x;" "/%&xquerG%\"xG" }{TEXT -1 5 " und " }{XPPEDIT 18 0 "yquer = k*y;" "/%&yquerG*&%\"kG\"\"\"%\"yGF&" } {TEXT -1 50 ". Die zweite Gleichung aufgel\366st nach y ist somit " } {XPPEDIT 18 0 "y = quer/k;" "/%\"yG*&%%querG\"\"\"%\"kG!\"\"" }{TEXT -1 46 ". Eingesetzt in die Kreisgleichung ergibt dies" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 41 "Gl1 := subs(x=xquer, y=yquer/k, Kreisgl); " }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%$Gl1G/,&*$%&xquerG\"\"#\"\"\"*&% &yquerGF)%\"kG!\"#F**$%\"rGF)" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 206 "Die be iden Koordinatensysteme x-y und xquer-yquer sind identisch. Fasst man \+ also die Ellipse nicht mehr als Bild eines Kreises, sondern selbst als Urbild auf, so ersetzt man xquer bzw. yquer durch x bzw. y:" }} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 35 "Gl2 := subs(xquer=x, yquer=y , Gl1);" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%$Gl2G/,&*$%\"xG\"\"#\"\" \"*&%\"yGF)%\"kG!\"#F**$%\"rGF)" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 35 "Dividiert man nun beidseitig durch " }{XPPEDIT 18 0 "r^2;" "*$%\"r G\"\"#" }{TEXT -1 30 ", so ergibt dies die Gleichung" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 29 "Gl3 := x^2/r^2+y^2/r^2/k^2=1;" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%$Gl3G/ ,&*&%\"xG\"\"#%\"rG!\"#\"\"\"*(%\"yGF)F*F+%\"kGF+F,F," }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 17 "Nun ersetzen wir " }{XPPEDIT 18 0 "r;" "I\"rG6\"" } {TEXT -1 7 " durch " }{XPPEDIT 18 0 "a;" "I\"aG6\"" }{TEXT -1 5 " und \+ " }{XPPEDIT 18 0 "r*k;" "*&%\"rG\"\"\"%\"kGF$" }{TEXT -1 7 " durch " } {XPPEDIT 18 0 "b;" "I\"bG6\"" }{TEXT -1 51 " und erhalten die Normalfo rm der Ellipsengleichung " }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 36 "Ellipsengl := subs(r=a, k=b/a, Gl3);" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%+EllipsenglG/,&*&%\"xG\"\"#%\"aG!\"#\"\"\"*&%\"yGF)%\"bGF+F,F," } }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 107 "Wie sieht das Schaubild einer Ellipse \+ aus? Wir w\344hlen f\374r a=1 und f\374r b=2 und lassen den Computer z eichnen:" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 93 "with(plots): imp licitplot(subs(a=1, b=2, Ellipsengl), x=-2..2, y=-2..2, scaling=constr ained);" }}{PARA 13 "" 1 "" {INLPLOT "6%-%'CURVESG6[s7$7$$!11++++++))! #;$!1\\mmmmmm%*F*7$$!1lmmmmmm*)F*$!1/++++++))F*7$7$F.$!1.++++++))F*7$$ !1s%*y:j_5!*F*$!1Q0@%ot%*e)F*7$7$$!1(************H*F*$!1/++++++sF*F67$ F<7$$!1(************R*F*$!15++++++mF*7$7$$!1jmmmmmm&*F*$!1/++++++cF*FB 7$7$$!1kmmmmmm&*F*FK7$$!1t/>w/>w'*F*$!1L&4Q_4Qs%F*7$7$$!1jmmmmmm(*F*$! 1/++++++SF*FQ7$FW7$$!1^aaaaaa)*F*$!1aXXXXXXHF*7$7$$!1(*************)*F *$!1/++++++CF*Fgn7$7$$!1&*************)*F*F`o7$$!1**F*$\"1$***********>>F*7$7$F^o$\"1(************R#F*F^q7$Fdq7$$!19YQ: YQ:)*F*$\"13YQ:YQ:MF*7$7$FX$\"1(*************RF*Fhq7$7$$!1lmmmmmm(*F*F _r7$$!1f#f#f#f#f'*F*$\"1_#f#f#f#f[F*7$7$$!1mmmmmmm&*F*$\"1(*********** *f&F*Fer7$7$FOF^s7$$!1cG9dG9d%*F*$\"1^G9dG9diF*7$7$$!1*************H*F *$\"1)************>(F*Fbs7$Fhs7$$!1w#[M5$z8#*F*$\"1q#[M5$z8wF*7$7$$!1n mmmmmm*)F*$\"1(************z)F*F^t7$7$Fet$\"1)************z)F*7$$!1NLL LLLL*)F*$\"1HLLLLLL*)F*7$7$F0$\"1_mmmmmm%*F*F]u7$7$F?$!1mmmmmm'Q\"!#:7 $$!1++++++?tF*$!1++++++g8Fju7$F[v7$$!1&************R(F*$!1,+++++S8Fju7 $7$$!1)***********fzF*$!1+++++++7FjuFav7$Fgv7$$!1j2Bp2Bp$)F*$!1Cp2Bp2$ 3\"Fju7$7$$!1)***********>&)F*$!1++++++S5FjuF]w7$7$$!1'***********>&)F *FfwF'7$7$F4Fdu7$$!1'Q:YQ:Ye)F*$\"1Q:YQ:Y=5Fju7$7$$!1,+++++?&)F*$\"1++ ++++S5FjuF^x7$Fdx7$$!1zxxxxxx\")F*$\"1yxxxxxP6Fju7$7$$!1++++++gzF*$\"1 +++++++7FjuFjx7$7$$!1-+++++gzF*Fcy7$$!1Xr&G9dGu(F*$\"19dG9dGa7Fju7$7$$ !1-+++++?tF*$\"1++++++g8FjuFiy7$F_z7$$!1e'*o?'eFG(F*$\"1l*o?'eFo8Fju7$ 7$F?$\"1mmmmmm'Q\"FjuFez7$7$FK$!1***********fl\"Fju7$$!1)***********\\ kF*$!1++++++?:Fju7$7$$!1(***********\\kF*Fe[lFgu7$F[[l7$$!1.+++++?nF*$ \"1++++++s9Fju7$7$$!1-+++++]kF*$\"1++++++?:FjuF\\\\l7$Fb\\l7$$!1Fp2Bp2 BhF*$\"1#p2Bp2Bd\"Fju7$7$FK$\"1***********fl\"FjuFh\\l7$7$FZ$!1ssssssK =Fju7$$!1)************R&F*$!1++++++!o\"Fju7$7$$!1*************R&F*Fh]l F_[l7$F^]l7$$!1%444444\\&F*$\"1344444p;Fju7$7$$!1/++++++aF*$\"1******* *****z;FjuF_^l7$Fe^l7$$!1+(3EyM/t%F*$\"1p3EyM/`Fju7$$!1)*************QF*$!1++++++S=Fju7$Fh_l7 $FZ$!1tsssssK=Fju7$Fa_l7$$!16@%ot%*y&RF*$\"15Uot%*yN=Fju7$7$$!13++++++ RF*$\"1************R=FjuFb`l7$Fh`l7$$!11++++++IF*$\"1**************=Fj u7$7$F`o$\"1++++++S>FjuF^al7$Fe_l7$$!1K++++++!*Fap$!1++++++!*>Fju7$7$F _p$!1LLLLLL$*>FjuFhal7$Fdal7$$!13+++++]>F*$\"1***********\\&>Fju7$7$F_ p$\"1LLLLLL$*>FjuFbbl7$F^bl7$$\"1.LLLLLLtFapF_bl7$7$F[qF_blF\\cl7$Fhbl 7$$!1UMLLLLLtFapFibl7$7$F[qFiblFbcl7$F`cl7$$\"1)***********\\>F*$!1+++ +++b>Fju7$7$FeqFf_lFhcl7$Ffcl7$$\"1d)************)Fap$\"1++++++!*>Fju7 $7$FeqFealF`dl7$F^dl7$$\"1)*************HF*$!1+++++++>Fju7$7$$\"1,++++ ++RF*F[`lFhdl7$F^el7$$\"1/@%ot%*y&RF*$!16Uot%*yN=Fju7$7$F_rF_`lFbel7$7 $F_r$\"1tsssssK=Fju7$$\"13++++++RF*F[al7$F]flFfdl7$Fhel7$$\"1$p3EyM/t% F*$!1p3EyM/`nF*$!1++++++s9Fju7$ 7$F[t$!1nmmmmm'Q\"FjuFhhl7$7$F[t$\"1ommmmm'Q\"Fju7$$\"1-+++++]kF*Fe\\l 7$FeilFfgl7$F^il7$$\"1_'*o?'eFG(F*$!1m*o?'eFo8Fju7$7$$\"1)***********> tF*F^vFjil7$7$$\"1************>tF*F^v7$$\"1Sr&G9dGu(F*$!19dG9dGa7Fju7$ 7$$\"1)***********fzF*FjvFgjl7$F][m7$$\"1wxxxxxx\")F*$!1yxxxxxP6Fju7$7 $$\"1)***********>&)F*FfwFa[m7$7$$\"1************>&)F*Ffw7$$\"1$Q:YQ:Y e)F*$!1R:YQ:Y=5Fju7$7$Fgt$!1qmmmmmm%*F*F^\\m7$7$F[u$\"1vmmmmmm%*F*7$$ \"1,+++++?&)F*Fgx7$F[]m7$$\"1t2Bp2Bp$)F*$\"1Bp2Bp2$3\"Fju7$7$$\"1-++++ +gzF*FcyF_]m7$Fe]m7$$\"1.++++++uF*$\"1************R8Fju7$7$$\"1,+++++? tF*FbzFi]m7$7$$\"1++++++?tF*FbzFbil7$7$F[u$!1rmmmmmm%*F*7$$\"1JLLLLLL* )F*$!1QLLLLLL*)F*7$7$$\"1lmmmmmm*)F*F0Fj^m7$7$$\"1mmmmmmm*)F*F07$$\"1w #[M5$z8#*F*$!1\"G[M5$z8wF*7$7$$\"1*************H*F*F?Fg_m7$F]`m7$$\"1d G9dG9d%*F*$!1hG9dG9diF*7$7$$\"1ommmmmm&*F*FKFa`m7$Fg`m7$$\"1g#f#f#f#f' *F*$!1k#f#f#f#f[F*7$7$$\"1ommmmmm(*F*FZF[am7$Faam7$$\"1;YQ:YQ:)*F*$!1@ YQ:YQ:MF*7$7$$\"1-++++++**F*F`oFeam7$F[bm7$$\"1,+++++?**F*$!11+++++?>F *7$7$$\"1ommmmmm**F*F_pF_bm7$Febm7$Ffbm$!1=nmmmmmOFap7$7$FfbmF[qFibm7$ F]cm7$$\"1Cl&p3Ey%**F*$\"1tM/8R<_7F*7$7$F\\bmFeqF_cm7$Fecm7$$\"1daaaaa a)*F*$\"1TXXXXXXHF*7$7$$\"1pmmmmmm(*F*F_rFgcm7$7$FbamF_r7$$\"1y/>w/>w' *F*$\"1=&4Q_4Qs%F*7$7$Fh`mF^sFbdm7$7$Fh`m$\"1'************f&F*7$$\"1-+ +++++%*F*$\"1&************f'F*7$7$$\"1+++++++$*F*F[tF]em7$Fcem7$$\"1v% *y:j_5!*F*$\"1@0@%ot%*e)F*7$7$$\"1nmmmmmm*)F*F[uFgem7$7$Fe_mFgtFh\\m-% 'COLOURG6&%$RGBG\"\"\"\"\"!Fgfm-%+AXESLABELSG6$%\"xG%\"yG-%(SCALINGG6# %,CONSTRAINEDG" 2 365 365 365 2 0 1 0 2 9 0 4 1 1.000000 45.000000 45.000000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 414 "Mit welchen Gr\366\337en l\344sst sic h eine Ellipse beschreiben? Ein Kreis hat einen bestimmten Durchmesser ; eine Ellipse hat dies nicht. Die L\344nge des \"Durchmessers\" h\344 ngt davon ab, von wo man ihn misst. Der kleinste bzw. gr\366\337te \"D urchmesser\" der Ellipse tr\344gt den Namen kleine bzw. gro\337e Achse . In unserem Beispiel ist die gro\337e Achse die Strecke von (0/-2) b is (0/2), die kleine Achse die Strecke von (-1/0) bis (1/0). " }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 80 "Es soll n un gezeigt werden, dass 2*a bzw. 2*b die L\344ngen der beiden Achsen s ind." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 119 "Zuerst berechnen wir einen belie bigen \"Durchmesser\" der Ellipse. Ein beliebiger Punkt auf der Ellips e sei (x/y) mit y =" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 21 "solve (Ellipsengl, y);" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6$*&*&-%%sqrtG6#,&*$ )%\"xG\"\"#\"\"\"!\"\"*$)%\"aGF,F-\"\"\"F-%\"bGF2F-F1!\"\",$F#F." }}} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 238 "Der andere Endpunkt des Durchmessers ist auf Grund der Punktsymmetrie zum Ursprung (-x/-y). (Beweis der Punkts ymmetrie: siehe n\344chster Abschnitt.) Der Abstand der beiden Punkte, also die L\344nge des \"Durchmessers\" ist in Abh\344ngigkeit von x: " }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 72 "Abstand := x -> sqrt(sub s(y=sqrt(-x^2+a^2)*b/a, (x-(-x))^2+(y-(-y))^2));" }}{PARA 11 "" 1 "" {TEXT -1 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 11 "Abstand(x); " }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#,$*$-%%sqrtG6#,&*$)%\"xG\"\"#\"\" \"\"\"\"*&*&,&F)!\"\"*$)%\"aGF,F-F.F.)%\"bGF,F-F-*$)F5\"\"#F-!\"\"F.F- F," }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 174 "Nun untersuchen wir - der Einfach heit halber nicht algebraisch, sondern an Hand des Schaubildes (Wert f \374r a: 1, Wert f\374r b: 5) - , f\374r welches x er maximal bzw. min imal wird:" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 46 "plot(subs(a=1, b=5, Abstand(x)), x=-1.2..1.2);" }}{PARA 13 "" 1 "" {TEXT -1 0 "" }}} {EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 146 "Der Abstand ist maximal f\374r x= 0, f\374r x=-1 und x=1, also f\374r x=+/-a ist er minimal. Setzt man d ies in die Gleichung der Ellipse ein, so ergibt sich" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 69 "subs(x=0, Ellipsengl);\nsubs(x=a, Ellipse ngl);\nsubs(x=-a, Ellipsengl);" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#/*&* $)%\"yG\"\"#\"\"\"F)*$)%\"bG\"\"#F)!\"\"\"\"\"" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#/,&\"\"\"F%*&*$)%\"yG\"\"#\"\"\"F+*$)%\"bG\"\"#F+!\"\"F %F%" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#/,&\"\"\"F%*&*$)%\"yG\"\"#\"\" \"F+*$)%\"bG\"\"#F+!\"\"F%F%" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 192 "Im erst en Fall hei\337t dies y=+/-b, im zweiten Fall y=0. Die zugeh\366rigen \+ Achsen gehen von (0/-b) bis (0/b) bzw. von (-a/0) bis (a/0). Daraus fo lgt: Die L\344nge der beiden Achsen ist 2*a bzw. 2*b. " }}}{SECT 1 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 9 "Symmetrie" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 530 "Mit Koordinatengleichungen l\344sst sich sehr leicht pr\374fen, ob ei ne Figur eine bestimmte Symmetrie aufweist. Ein K\366rper weist eine b estimmte Symmetrie auf, wenn bei der zuge\366rigen Abbildung das Urbil d gleich dem Bild ist. Z. B. ist eine Figur achsensymmetrisch zur y-Ac hse, wenn bei der Achsenspiegelung bez\374glich der y-Achse das Bild d es K\366rpers gleich dem Urbild des K\366rpers ist. Dies l\344sst sich leicht an den Koordinatengleichungen ablesen. Sind diese \344quivalen t, haben sie dieselben L\366sungen und beschreiben so denselben K\366r per." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 49 "A n folgendem Beispiel soll dies erl\344utert werden:" }}{PARA 0 "" 0 " " {TEXT -1 137 "Es soll gezeigt werden, dass eine Ellipse um den Urspr ung punktsymmetrisch zu diesem ist. Eine Ellipse um den Ursprung hat d ie Gleichung " }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 32 "Ellipsengl \+ := x^2/a^2+y^2/b^2=1;" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%+Ellipsengl G/,&*&*$)%\"xG\"\"#\"\"\"F,*$)%\"aG\"\"#F,!\"\"\"\"\"*&*$)%\"yGF+F,F,* $)%\"bG\"\"#F,F1F2F2" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 77 "Die Abbildungsvo rschriften f\374r die Punktspiegelung durch den Ursprung lauten " } {XPPEDIT 18 0 "xquer=-x" "/%&xquerG,$%\"xG!\"\"" }{TEXT -1 5 " und " } {XPPEDIT 18 0 "yquer = -y" "/%&yquerG,$%\"yG!\"\"" }{TEXT -1 31 " . Au s diesen Gleichungen folgt" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 33 "Gl1 := x=-xquer;\nGl2 := y=-yquer;" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%$Gl1G/%\"xG,$%&xquerG!\"\"" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6# >%$Gl2G/%\"yG,$%&yquerG!\"\"" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 46 "Eingeset zt in die Kreisgleichung bedeutet dies" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 27 "subs(Gl1, Gl2, Ellipsengl);" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#/,&*&*$)%&xquerG\"\"#\"\"\"F**$)%\"aG\"\"#F*!\"\"\"\"\" *&*$)%&yquerGF)F*F**$)%\"bG\"\"#F*F/F0F0" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 73 "Aus der Identit\344t der beiden Koordinatensysteme x-y und xquer-y quer folgt" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 26 "subs(xquer=x, \+ yquer=y, \");" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#/,&*&*$)%\"xG\"\"#\" \"\"F**$)%\"aG\"\"#F*!\"\"\"\"\"*&*$)%\"yGF)F*F**$)%\"bG\"\"#F*F/F0F0 " }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 122 "Dies ist die Ellipsengleichung vom \+ Anfang. Damit ist gezeigt: Eine Ellipse um den Ursprung ist punktsymme trisch zu diesem." }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}{SECT 1 {PARA 3 "" 0 "" {TEXT -1 47 "Rechnen mit Koordinatengleichungen (W. Steimle) " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 254 "In diesem Kapitel werden drei wesent liche Rechentechniken beim Rechnen mit Koordinatengleichungen vorgeste llt. Diese Kenntnisse sind vor allem zur Bearbeitung der Beispielaufga ben wichtig. Doch auch im Aufgabenteil sind durchweg Musterl\366sungen angegeben." }}{SECT 1 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 14 "Die Punktprobe" }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 261 "Mit Hilfe der Punktprobe kann man festst ellen, ob ein Punkt Teil eines geometrischen Objektes ist. Dazu muss m an nur untersuchen, ob die Koordinaten des Punktes die Gleichung des O bjektes erf\374llen. Will man beispielsweise wissen, ob der Kreis mit \+ der Gleichung " }{XPPEDIT 18 0 "x^2+y^2 = 5;" "/,&*$%\"xG\"\"#\"\"\"*$ %\"yGF&F'\"\"&" }{TEXT -1 121 " durch den Punkt (-1/3) geht, setzt man in der Kreisgleichung f\374r x = -1 und f\374r y = 3 ein. Es ergibt s ich die Gleichung " }{XPPEDIT 18 0 "(-1)^2+3^2 = 5;" "/,&*$,$\"\"\"!\" \"\"\"#F&*$\"\"$F(F&\"\"&" }{TEXT -1 88 " - offensichtlich eine falsch e Aussage. Der Punkt (-1/3) liegt also nicht auf dem Kreis." }}}{SECT 1 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 28 "Bestimmung der Koeffizienten" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 87 "Ein Kreis um den Ursprung soll durch den Punkt \+ (1/3) gehen. Wie lautet seine Gleichung?" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 104 "Die einfache Handhabung von solchen Aufgabentypen ist eine St\344 rke der Arbeit mit Koordinatengleichungen." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 84 "Die Gleichung eines Kreises um den Ursprung mit dem Radius r ha t folgende Gleichung:" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 18 "Gl \+ := x^2+y^2=r^2;" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%#GlG/,&*$%\"xG\" \"#\"\"\"*$%\"yGF)F**$%\"rGF)" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 145 "Da der Punkt (1/3) Bestandteil des Kreises sein soll, muss (1; 3) eine L\366 sung der Gleichung sein. Folgende Gleichung ist also eine wahre Aussag e:" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 19 "subs(x=1, y=3, Gl);" } }{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#/\"#5*$%\"rG\"\"#" }}}{PARA 0 "" 0 " " {XPPEDIT 18 0 "r^2" "*$%\"rG\"\"#" }{TEXT -1 59 " ist also 10, die G leichung dieses Kreises ist somit klar: " }{XPPEDIT 18 0 "x^2+y^2=10" "/,&*$%\"xG\"\"#\"\"\"*$%\"yGF&F'\"#5" }{TEXT -1 1 "." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 81 "Da r der Radius des Kreises ist, l\344sst sich der Rad ius ebenfalls leicht ablesen: " }{XPPEDIT 18 0 "r=sqrt(10)" "/%\"rG-%% sqrtG6#\"#5" }{TEXT -1 3 ". (" }{XPPEDIT 18 0 "r=-sqrt(10)" "/%\"rG,$- %%sqrtG6#\"#5!\"\"" }{TEXT -1 108 " w\374rde zwar die Gleichung auch e rf\374llen; da r jedoch eine Streckenl\344nge ist, gibt diese L\366sun g keinen Sinn.)" }}}{SECT 1 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 15 "Schnittproble me" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 88 "Schnittprobleme lassen sich mit Hil fe der Koordinatengleichungen sehr einfach behandeln:" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 339 "Der Schnittk\366rper mehrerer K\366rper umfasst die P unkte, die allen K\366rpern angeh\366ren. Da die L\366sungen eines Gle ichungssystem ebenfalls die L\366sungen sind, die alle im Gleichungssy stem enthaltenen Gleichungen l\366sen, wird der Schnittk\366rper durch das Gleichungssystem beschrieben, das sich aus den Gleichungen der ei nzelnen K\366rper zusammensetzt. " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT 285 8 "Beis piel" }{TEXT -1 63 ": Gesucht sind die Schnittpunkte der Ellipse mit d er Gleichung " }{XPPEDIT 18 0 "x^2/5+y^2/2 = 1;" "/,&*&%\"xG\"\"#\"\"& !\"\"\"\"\"*&%\"yGF&F&F(F)F)" }{TEXT -1 135 " mit der x-Achse. Allen P unkten auf der x-Achse ist gemein, dass ihre y-Koordinate 0 ist; die K oordinatengleichung der x-Achse ist alo " }{XPPEDIT 18 0 "y = 0;" "/% \"yG\"\"!" }{TEXT -1 53 ". Das Gleichungssystem aus den beiden Gleichu ngen ist" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 42 "GlSys := \{(x+1) ^2/5+(y-0.5)^2/2 = 1, y=0\};" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%&GlS ysG<$/%\"yG\"\"!/,&*$),&%\"xG\"\"\"F/F/\"\"#\"\"\"#F/\"\"&*$),&F'F/$! \"&!\"\"F/F0F1#F/F0F/" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 54 "Die L\366sungen dieses Gleichungssystems berechnet MAPLE:" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 " " {MPLTEXT 1 0 13 "solve(GlSys);" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6$<$ /%\"yG\"\"!/%\"xG$!+m+l\"4$!\"*<$F$/F($\"+m+l\"4\"F+" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 85 "Es gibt also 2 Schnittpunkte, deren Koordinaten hier n \344herungsweise berechnet wurden." }}}}{SECT 1 {PARA 3 "" 0 "" {TEXT -1 22 "Die Kugel (A. Kettler)" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 342 "Nachdem der geneigte Leser nun einiges \374ber Koordinatengleichungen in 2-di mensionalen Koordinatensystemen erfahren hat, widmet sich der folgende Teil deren Weiterf\374hrung im 3-dimensionalen Raum. Um eine optimale Visualisierung der im Folgenden berechneten K\366rper zu erm\366glich en m\374ssen jedoch noch kurz einige Einstellungen vorgenommen werden. " }}{SECT 1 {PARA 256 "" 0 "" {TEXT -1 28 "(Notwendige) Einstellungen \+ :" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 189 "restart:with(plots):wi th(plottools):\nxa:=`X-Achse`:ya:=`Y-Achse`:za:=`Z-Achse`:\nsetoptions 3d(style=patchnogrid,axes=boxed,projection=0.3,labels=[xa,ya,za],light model=light4,numpoints=2000);" }}}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 498 "Die K oordinatengleichung einer Kugel l\344sst sich im Prinzip herleiten, wi e die des Kreises, indem man die Eigenschaft ausn\374tzt, dass alle Pu nkte auf der Kugeloberfl\344che den selben Abstand zum Mittelpunkt der Kugel besitzen. Es soll nun aus Gr\374nden der Einfachheit zun\344chs t die Koordinatengleichung einer Kugel mit Mittelpunkt im Ursprung ber echnet werden. Um den Abstand eines Punktes P(X | Y | Z) im Raum zum U rsprung zu berechnen erweitern wir den Satz des Pythagoras auf den 3-d imensionalen Raum:" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 " > " 0 "" {MPLTEXT 1 0 283 "display(\{point([2,1,3],color=red),line([2, 1,3],[0,0,0],color=black),line([2,1,3],[2,1,0],color=green),line([2,1, 0],[0,0,0],color=yellow),line([2,1,0],[2,0,0],color=blue),line([2,0.01 ,0],[0,0.01,0],color=red),textplot3d([2,1,3.1,`P`])\},axes=normal,orie ntation=[20,60],projection=0.7);" }}{PARA 13 "" 1 "" {INLPLOT "6.-%'PO INTSG6$7%$\"\"#\"\"!$\"\"\"F)$\"\"$F)-%'COLOURG6&%$RGBG$\"*++++\"!\")F )F)-%'CURVESG6$7$F&7%F)F)F)-F/6&F1F)F)F)-F66$7$F&7%F'F*F)-F/6&F1F)F2F) -F66$7$7%F'$F+!\"#F)7%F)FFF)F.-F66$7$F?F9-F/6&F1F2F2F)-F66$7$F?7%F'F)F )-F/6&F1F)F)F2-%%TEXTG6%7%F'F*$\"#J!\"\"%\"PG-%&STYLEG6#%,PATCHNOGRIDG -%+AXESLABELSG6%%(X-AchseG%(Y-AchseG%(Z-AchseG-%+LIGHTMODELG6#%(LIGHT_ 4GFfn-%*AXESSTYLEG6#%'NORMALG-%+PROJECTIONG6%$\"#?F)$\"#gF)$\"\"(FZ" 3 375 375 375 3 0 1 0 2 1 6 4 2 0.700000 60.000000 20.000000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 336 -5496 0 0 0 0 0 2 }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 154 "Die gr\374ne Strecke steht senkrecht auf der X-Y-Ebene. Das Dreieck gelb-gr\374n-schwarz ist also rechwinklig. Es gilt also f\374r die L\344nge der schwarzen Strecke " }}{PARA 257 "" 0 "" {XPPEDIT 18 0 "schwarz^2=gr\374n^2+gelb^2" "/*$%(schwarzG\"\"# ,&*$%%gr|gznGF%\"\"\"*$%%gelbGF%F)" }{TEXT -1 1 " " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 36 "und f\374r die L\344nge der gelben Strecke" }}{PARA 258 " " 0 "" {TEXT -1 1 " " }{XPPEDIT 18 0 "gelb^2=blau^2+rot^2" "/*$%%gelbG \"\"#,&*$%%blauGF%\"\"\"*$%$rotGF%F)" }{TEXT -1 2 ". " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 49 "Setzt man nun die 2.Gl in die 1. so ergibt sich " }} {PARA 259 "" 0 "" {XPPEDIT 18 0 "schwarz^2=gr\374n^2+blau^2+rot^2" "/* $%(schwarzG\"\"#,(*$%%gr|gznGF%\"\"\"*$%%blauGF%F)*$%$rotGF%F)" } {TEXT -1 2 ". " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 172 "Da gr\374n ja nichts a nderes als die Z-Koordinate, rot die X-Koordinate und blau die Y-Koor dinate des Punktes P darstellen gilt f\374r den Abstand d des Punktes P vom Ursprung " }}{PARA 260 "" 0 "" {XPPEDIT 18 0 "d^2=x^2+y^2+z^2" "/*$%\"dG\"\"#,(*$%\"xGF%\"\"\"*$%\"yGF%F)*$%\"zGF%F)" }{TEXT -1 1 ". " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 67 "Die Koordinatengleichung einer Kugel \+ mit Radius r lautet demzufolge" }}{PARA 261 "" 0 "" {TEXT -1 1 " " } {XPPEDIT 18 0 "x^2+y^2+z^2=d^2" "/,(*$%\"xG\"\"#\"\"\"*$%\"yGF&F'*$%\" zGF&F'*$%\"dGF&" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 29 "Hier folgt nun ihr Sch aubild:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 54 "implicitplot3d(x ^2+y^2+z^2=1,x=-1..1,y=-1..1,z=-1..1);" }}{PARA 13 "" 1 "" {INLPLOT "6 )-%+ISOSURFACEG6#7,7,7,7&$!\"\"\"\"!F*F*$\"\"#F,7&$!+yxxxx!#5F*F*$\"1Q \\gr#Q\\g\"!#:7&$!+cbbbbF2F*F*$\"1U'3`(>k38F57&$!+MLLLLF2F*F*$\"166666 666F57&$!+76666F2F*F*$\"1YB,zcM75F57&$\"*6666\"!\"*F*F*FC7&$\"*LLLL$FH F*F*F>7&$\"*bbbb&FHF*F*F97&$\"*yxxx(FHF*F*F37&$\"+++++5FHF*F*F-7,7&F*F 0F*F37&F0F0F*$\"1x)4Kaw)47F57&F7F0F*$\"1.e8pC!e8*!#;7&Fk3`( >%Fgn7&FAF7F*$\"1x)4Kaw)4KFgn7&FFF7F*F[p7&FJF7F*Fho7&FMF7F*F\\o7&FPF7F *$\"1,e8pC!e8*Fgn7&FSF7F*F97,7&F*F7&F0F7,7&F*FAF*FC7&F0FAF*F\\o7&F7FAF*F [p7&F7&F0FJF*Fin7&F7FJF*Fho7&Fk3`(>%Fgn7&FPFJF*$\"1!\\gr#Q\\grFgn7&FSFJF*F> 7,7&F*FMF*F97&F0FMF*Fen7&F7FMF*F\\o7&F7&FAFSF*FC7&FFFSF*FC7&FJFSF*F>7&FMFSF*F97&FPFSF*F37&FSFSF*$\" 1+++++++?F57,7,7&F*F*F0F37&F0F*F0FX7&F7F*F0Fen7&FAAAAAA AFgn7&FSFFF0Ffr7,7&F*FJF0Fin7&F0FJF0F[p7&F7FJF0F[r7&F7&F0F*F7,7&F*F0F k3`( >k)Fgn7&FFFAFk3`(>k)Fgn7&FJFFFk3 `(>%Fgn7,7&F*FPF7& F0FSF7,7,7&F*F*FAFC7&F0F*FAF\\o7&F7F*FAF[p7&F7&F0F*FJFin7&F7F*FJFho7&F7,7&F*F0FJFin7&F0F0FJF[p7&F7F0FJF[r7&F< F0FJFhz7&FAF0FJFdz7&FFF0FJFd\\l7&FJF0FJFc]l7&FMF0FJF`s7&FPF0FJFcr7&FSF 0FJFbq7,7&F*F7FJFho7&F0F7FJF[r7&F7F7FJFdz7&F7&F0FSFJFbq7&F7FSFJFct7& F7,7,7&F*F*FMF97&F0F*FMFen7&F7F*FMF\\o7&F7&FAF*FSFC7&FFF*FSFC7&FJF*FSF>7&FMF*FSF97&FPF*FSF3 7&FSF*FSF^w7,7&F*F0FSF37&F0F0FSFX7&F7F0FSFap7&F7&F0F7,7&F* FAFSFC7&F0FAFSFfr7&F7FAFSFcr7&F7&F0FJFSFft7&F7FJFSF__m7&F7,7&F*FMFSF97&F0FMFSFcu7&F7FMFSFes7&F7&FAFSF SFcam7&FFFSFSFcam7&FJFSFSF>7&FMFSFSF97&FPFSFSFhdo7&FSFSFS$\"1********* *****>F5-%+AXESLABELSG6%%\"xG%\"yG%\"zG-F^\\p6%%(X-AchseG%(Y-AchseG%(Z -AchseG-%+LIGHTMODELG6#%(LIGHT_4G-%&STYLEG6#%,PATCHNOGRIDG-%*AXESSTYLE G6#%$BOXG-%+PROJECTIONG6%$\"$]%F+Fg]p$\"\"$F+" 3 375 375 375 3 0 1 0 2 1 6 2 2 0.300000 45.000000 45.000000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 -8011 26514 0 0 0 0 0 2 }}}}{SECT 1 {PARA 3 "" 0 "" {TEXT -1 34 "Verformung von K\366rpern (A.Kettler)" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 325 "Da die geometrische Abbildung im Raum analog zur geomet rischen Abbildung in der Ebene verl\344uft, werden die Themen Parallel verschiebung und axiale Streckung etwas kurz (jedoch mit einigen ansch aulichen Beispielen) abgehandelt. Die Gleichung einer Kugel mit belieb igem Mittelpunkt M(x1 | y1 | z1) und Radius r ist demzufolge " } {XPPEDIT 18 0 "r^2=(x-x[1])^2+(y-y[1])^2+(z-z[1])^2" "/*$%\"rG\"\"#,(* $,&%\"xG\"\"\"&F)6#F*!\"\"F%F**$,&%\"yGF*&F06#F*F-F%F**$,&%\"zGF*&F56# F*F-F%F*" }{TEXT -1 1 "." }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 21 " kugel:=x^2+y^2+z^2=1;" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%&kugelG/,(* $%\"xG\"\"#\"\"\"*$%\"yGF)F**$%\"zGF)F*F*" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 " " {MPLTEXT 1 0 26 "kugel1:=subs(x=x-2,kugel);" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%'kugel1G/,(*$,&%\"xG\"\"\"!\"#F*\"\"#F**$%\"yGF,F**$% \"zGF,F*F*" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 70 "implicitplot3 d(\{kugel,kugel1\},x=-1..3,y=-2..2,z=-2..2,numpoints=2000);" }}{PARA 13 "" 1 "" {INLPLOT "6*-%+ISOSURFACEG6#7171717&$!\"\"\"\"!$!\"#F,F-$\" #;F,7&$!+Vr&G9(!#5F-F-$\"1^v(QpMnV\"!#97&$!+'G9dG%F4F-F-$\"1ZtO=fz*G\" F77&$!+H9dG9F4F-F-$\"1)QpMn$=f6F77&$\"*Vr&G9!\"*F-F-$\"1uO=fz*[/\"F77& 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&F>F,Fd_mFcgv7&FCF,Fd_mFcgv7&FIF,Fd_mFcgs7&FOF,Fd_mFi`uF`g_l7&FYF,Fd_m Fhdhl7&FhnF,Fd_mF[bgl7&F]oF,Fd_mFf^o7&FboF,Fd_mF\\^`l7&FeoF,Fd_mF^ehl7 &FjoF,Fd_mFai`l7&F_pF,Fd_mFdi`l717&F*F^clFd_mFah_l7&F2F^clFd_mFfhv7&F9 F^clFd_mF[_u7&F>F^clFd_mFjhv7&FCF^clFd_mFjhv7&FIF^clFd_mF[_u7&FOF^clFd _mFfhvF`h_l7&FYF^clFd_mFbis7&FhnF^clFd_mFfgp7&F]oF^clFd_mFg[_l7&FboF^c lFd_mFj]el7&FeoF^clFd_mF`cgl7&FjoF^clFd_mF^`m7&F_pF^clFd_mFafil717&F*F jdlFd_mFfdz7&F2FjdlFd_mFidz7&F9FjdlFd_mFi`u7&F>FjdlFd_mF]ez7&FCFjdlFd_ mF]ez7&FIFjdlFd_mFi`u7&FOFjdlFd_mFidzFji_l7&FYFjdlFd_mF]i]l7&FhnFjdlFd _mFi`]m7&F]oFjdlFd_m$\"1F;3/-^vnFM7&FboFjdlFd_mF_afl7&FeoFjdlFd_mFffjl 7&FjoFjdlFd_mF_i_l7&F_pFjdlFd_mF__u717&F*F\\glFd_mFbis7&F2F\\glFd_mF_i s7&F9F\\glFd_mF`g[l7&F>F\\glFd_mFcg[l7&FCF\\glFd_mFcg[l7&FIF\\glFd_mF` g[l7&FOF\\glFd_mF_isFjj_l7&FYF\\glFd_mF]\\_l7&FhnF\\glFd_m$\"1cIlK;3/i FM7&F]oF\\glFd_mFc``l7&FboF\\glFd_mF_`el7&FeoF\\glFd_mFfejl7&FjoF\\glF d_mFe`el7&F_pF\\glFd_mFh`el717&F*FjhlFd_mFf_r7&F2FjhlFd_mFc_r7&F9FjhlF d_mF\\i\\l7&F>FjhlFd_mF_au7&FCFjhlFd_mF_au7&FIFjhlFd_mF\\i\\l7&FOFjhlF d_mFc_rF\\\\`l7&FYFjhlFd_mFj[`l7&FhnFjhlFd_mF\\]_m7&F]oFjhlFd_mFebil7& FboFjhlFd_mF^ehl7&FeoFjhlFd_mF_e\\m7&FjoFjhlFd_mF]_dl7&F_pFjhlFd_mFf_a l717&F*FhjlFd_mF][^l7&F2FhjlFd_m$\"1gK;3/-^bFM7&F9FhjlFd_mFa[^l7&F>Fhj lFd_mFd[^l7&FCFhjlFd_mFd[^l7&FIFhjlFd_mFa[^l7&FOFhjlFd_mFe__mF\\]`l7&F YFhjlFd_m$\"1-/-^v(Qp'FM7&FhnFhjlFd_mFeam7&F]oFhjlFd_mFicil7&FboFhjlFd _mFb`el7&FeoFhjlFd_mF]dhl7&FjoFhjlFd_mFf_cl7&F_pFhjlFd_mFc^al717&F*F`] mFd_mF\\^_l7&F2F`]mFd_mF_^_l7&F9F`]mFd_mFb^_l7&F>F`]mFd_mFe^_l7&FCF`]m Fd_mFe^_l7&FIF`]mFd_mFb^_l7&FOF`]mFd_mF_^_l7&FTF`]mFd_m$\"1vS?5bxQpFM7 &FYF`]mFd_mF\\^`l7&FhnF`]mFd_mF``il7&F]oF`]mFd_mFc]_l7&FboF`]mFd_mF`]_ l7&FeoF`]mFd_mFac^m7&FjoF`]mFd_mFf_al7&F_pF`]mFd_mFi_al717&F*Fd_mFd_mF _``l7&F2Fd_mFd_mFeam7&F9Fd_mFd_mFc``l7&F>Fd_mFd_mFf``l7&FCFd_mFd_mFf`` l7&FIFd_mFd_mFc``l7&FOFd_mFd_m$\"1XEj\"3/-^(FMF^``l7&FYFd_mFd_mF\\``l7 &FhnFd_mFd_mFi_`l7&F]oFd_mFd_mF^`m7&FboFd_mFd_mF[`m7&FeoFd_mFd_mFd_`l7 &FjoFd_mFd_mFa_`l7&F_pFd_mFd_mF^_`l-%+AXESLABELSG6%%\"xG%\"yG%\"zG-%&S TYLEG6#%,PATCHNOGRIDG-Fib_m6%%(X-AchseG%(Y-AchseG%(Z-AchseG-%*AXESSTYL EG6#%$BOXG-%+LIGHTMODELG6#%(LIGHT_4G-%+PROJECTIONG6%$\"$]%F+Fbd_m$\"\" $F+" 3 375 375 375 3 0 1 0 2 1 6 2 2 0.300000 45.000000 45.000000 14020 14091 14086 14104 14112 15010 15120 20010 17020 17060 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 422 -13184 0 0 0 0 0 2 }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 243 "Durch gleichzeitiges Verschieben und Strecken l\344sst sich au f diese Weise eine sehr nette kleine Animation erstellen: (sie ist nur leider etwas rechenintensiv, falls es also zu lange dauert bitte einf ach abbrechen und numpoints=2000 weglassen.)" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 186 "display( seq( implicitplot3d( \nx^2 + y^2 + (z* (2+sin(i/2))+cos(i/2)*2)^2 = 1 \n,x=-2..2,y=-2..2,z=-2..2,orientation= [0,60],numpoints=2000) ,i=1..12)\n,insequence=true,title=`Die Kugel !` );" }}{PARA 13 "" 1 "" {TEXT -1 0 "" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}{SECT 1 {PARA 3 "" 0 "" {TEXT -1 49 "Unregelm\344\337ige Verformung von K\366rpern (A. Kettler)" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 273 "Ein wese ntlich interessanteres Thema ist die unregelm\344\337ige Streckung von K\366rpern. Mit ihr lassen sich einige komliziertere K\366rper sehr e infach in Koordinatengleichungen ausdr\374cken, wie z.B ein Ei. Das Ei hat ein wesentliches Merkmal, welches es von der Kugel unterscheidet: " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 69 "Es ist ober spitzer als unten, d.h un ten ist es noch fast eine Kugel." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 135 "Um a lso auf die Koordinatengleichung eines Ei\264s zu kommen strecken wir \+ einfach eine Kugel in der X-Y-Ebene in Abh\344ngigkeit der Z-Achse." } }{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 33 "Wir erhalten somit die Gleichung " } {XPPEDIT 18 0 "(z+2)*x^2+(z+2)*y^2+z^2=1" "/,(*&,&%\"zG\"\"\"\"\"#F'F' *$%\"xGF(F'F'*&,&F&F'F(F'F'*$%\"yGF(F'F'*$F&F(F'F'" }{TEXT -1 160 ". D a die diesem Ei zugrundeliegende Kugel ihren Mittelpunkt im Ursprung h at ist am unteren Ende der Kugel (z= -1) die Streckung -1+2=1. Oben be tr\344gt sie +1+2=3." }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 83 "impl icitplot3d((z+2)*x^2+(z+2)*y^2+z^2=1,x=-1..1,y=-1..1,z=-1..1,title=`DA S EI !`);" }}{PARA 13 "" 1 "" {INLPLOT "6*-%+ISOSURFACEG6#7,7,7,7&$!\" \"\"\"!F*F*$\"\"#F,7&$!+yxxxx!#5F*F*$\"1Q\\gr#Q\\g\"!#:7&$!+cbbbbF2F*F *$\"1U'3`(>k38F57&$!+MLLLLF2F*F*$\"166666666F57&$!+76666F2F*F*$\"1YB,z cM75F57&$\"*6666\"!\"*F*F*FC7&$\"*LLLL$FHF*F*F>7&$\"*bbbb&FHF*F*F97&$ \"*yxxx(FHF*F*F37&$\"+++++5FHF*F*F-7,7&F*F0F*F37&F0F0F*$\"1x)4Kaw)47F5 7&F7F0F*$\"1.e8pC!e8*!#;7&Fk3`(>%Fgn7&FAF7F*$\"1x)4Kaw)4KFg n7&FFF7F*F[p7&FJF7F*Fho7&FMF7F*F\\o7&FPF7F*$\"1,e8pC!e8*Fgn7&FSF7F*F97 ,7&F*F7&F0F7,7&F*FAF*FC7&F0FAF*F\\o7&F7FAF*F[p7&F7&F0FJF*Fin7&F7FJF*Fho7&F k3 `(>%Fgn7&FPFJF*$\"1!\\gr#Q\\grFgn7&FSFJF*F>7,7&F*FMF*F97&F0FMF*Fen7&F7 FMF*F\\o7&F7&FAFSF*FC7&FFFSF* FC7&FJFSF*F>7&FMFSF*F97&FPFSF*F37&FSFSF*$\"1+++++++?F57,7,7&F*F*F0$\"1 $Q\\gr#Q\\?F57&F0F*F0$\"1>aX#\\Hlc\"F57&F7F*F0$\"1X*fZd*Q/7F57&F-'4qTCFgn7&FFF-'4qTCFgn7&FJFS$)[OFgn7&FFFAF0F d]l7&FJFAF0Fd\\l7&FMFAF0$!1Jd'\\A%[VFF][l7&FPFAF0$\"1t]qMV'Rf$Fgn7&FSF AF0$\"1S$)[OFgn7&FJFFF0$!1z%>-'4qTCFgn7&FMFFF0$!1U e'\\A%[VFF][l7&FPFFF0F\\^l7&FSFFF0F_^l7,7&F*FJF0Fcx7&F0FJF0Fjy7&F7FJF0 F`[l7&Fk3`(>#F57&F0F*F7$\"1kYSXh)oi\"F 57&F7F*F7$\"19+J1E!*)>\"F57&F4xFgn7&FFF*F7$ \"1MO:s1>4xFgn7&FJF*F7Fen7&FMF*F7Facl7&FPF*F7F^cl7&FSF*F7$\"1Iv>k3`(># F57,7&F*F0F7F^cl7&F0F0F7$\"1(z6mUTi0\"F57&F7F0F7$\"1q94xAFgn7&FFF7F7Fafl7&FJF7F7$!1)o$R(4,[])F]r7&FMF7F7F\\el7&FPF 7F7$\"1l94xAFgn7&FPFAF7$\"1j \\A%[VF+#Fgn7&FSFAF7Fhcl7,7&F*FFF7Fhcl7&F0FFF7F\\el7&F7FFF7Fafl7&F4xFgn7,7&F*FJF7Fen7&F0FJF7F`el7&F7FJF7Fefl7&F\"F57,7&F*FPF7F^cl7&F0FPF7Fcdl7&F7FPF7Fifl7&F r*[n_/$Fgn7&FAF 0F<$\"16Dtap<*R\"Fgn7&FFF0Fr*[n_/$Fgn7&FSF7&FAF*FA$\"1IW8Q=aX#*Fg n7&FFF*FAF]im7&FJF*FAF>7&FMF*FAFihm7&FPF*FAFfhm7&FSF*FAFchm7,7&F*F0FAF fhm7&F0F0FA$\"1z(3%Q!owH\"F57&F7F0FA$\"1^x:lD(*ztFgn7&FS $)[OFgn7&FAF0FA$\"13xAYZE$y\"Fgn7&FFF0FAF`jm7&FJF0FA$\"1)Q/#>S$)[OFgn7 &FMF0FA$\"1\\x:lD(*ztFgn7&FPF0FAFgim7&FSF0FAFfhm7,7&F*F7FAFihm7&F0F7FA Fjim7&F7F7FA$\"16xAYZE$y\"Fgn7&FFgn7&FAF7FA$!1JBqsIW8 QFgn7&FFF7FA$!1KBqsIW8QFgn7&FJF7FA$!1^cs*zty%>Fgn7&FMF7FAF`jm7&FPF7FA$ \"1Yx:lD(*ztFgn7&FSF7FAFihm7,7&F*F7&F0FFgn7&FPFS$)[OFgn7&FSF7,7&F*F AFAF]im7&F0FAFAF`jm7&F7FAFAFe[n7&F7&F0FJ FAFdjm7&F7FJFAF[\\n7&FFgn7&FPFJFA$\"1$Q/#>S$)[OFgn7&FSFJFAF>7,7& F*FMFAFihm7&F0FMFAFgjm7&F7FMFAF`jm7&F7&FAFSFAFj^ n7&FFFSFAFj^n7&FJFSFAF>7&FMFSFAFihm7&FPFSFAFjbn7&FSFSFAFchm7,7,7&F*F*F F$\"1oXB,zcMKF57&F0F*FF$\"1$*\\%op[0S#F57&F7F*FF$\"17Gb$HM]x\"F57&F&\\6F57&FFF*FFFfdn7&FJF*FFFcdn7&FM F*FFF`dn7&FPF*FFF]dn7&FSF*FF$\"1nXB,zcMKF57,7&F*F0FFF]dn7&F0F0FFFfw7&F 7F0FF$\"1wBj\"*3:5%*Fgn7&FL-F(Fgn7&FFFL-F(Fgn7&FMFAFF$!1\\7@ur8+JFgn7&FPFAFF$\"1h0reo+bJFgn7&FSFAFFFfdn7,7 &F*FFFFFfdn7&F0FFFFFien7&F7FFFFF_gn7&FL-F(Fgn7&FMFFFF$!1]7@ur8+JFgn7&FPFFFFF`jn7&FSFFFFFfd n7,7&F*FJFFFcdn7&F0FJFFF]fn7&F7FJFFFbgn7&FF57&F 7F0FJ$\"1l%4RN)zU7F57&FF57&FSF0FJF\\_o7,7&F*F7FJF__o7&F0F7FJFd`o7&F7F7FJ$\"1s5=#H.W^&F gn7&Fk3`(>WF57&F0F*FM$\"1 sBj\"*3:5MF57&F7F*FM$\"1Q=aX#\\Hl#F57&FI?)Qt&ePFgn7&FJFk3`(>WF57,7 ,7&F*F*FP$\"1%\\gr#Q\\g^F57&F0F*FP$\"16U-'4qT#F57&FFF*FP$\"1(y%>-'4qT #F57&FJF*FPFjdp7&FMF*FP$\"1)\\%op[0SKF57&FPF*FP$\"15U8F57&FFF0FPFffp7&FJF0FPFcfp7&FMF0 FPF`fp7&FPF0FPF]fp7&FSF0FPFddp7,7&F*F7FPFgdp7&F0F7FPF`fp7&F7F7FPFffp7& F8F57&FPF7FP$\"1;#)pz6mU@F57&FSF7FPFdep7,7&F*FAAAAAAAFgn7&FMF4xFgn7&FPF4xAYZE$Fgn7&FFFA FP$!1$>4xAYZE$Fgn7&FJFAFP$!1y[VF+i7_F]r7&FMFAFP$\"1Bz=Zkql\\Fgn7&FPFAF PFhgp7&FSFAFPF`ep7,7&F*FFFPF`ep7&F0FFFPFffp7&F7FFFPFcgp7&F " 0 "" {MPLTEXT 1 0 26 "Gl := (x-2)^2+(y-5)^2=r^2;" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6# >%#GlG/,&*$),&%\"xG\"\"\"!\"#F+\"\"#\"\"\"F+*$),&%\"yGF+!\"&F+F-F.F+*$ )%\"rGF-F." }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 95 "Weiterhin m\374ssen die Ko ordinaten von P die Gleichung erf\374llen, da sie ja auf dem Kreis lie gen. " }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 20 "subs(x=-1, y=9, Gl) ;" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#/\"#D*$)%\"rG\"\"#\"\"\"" }}} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 79 "Setzt man dieses Ergebnis in die Gleichun g Gl ein, so erh\344lt man die Gleichung " }{XPPEDIT 18 0 "(x-2)^2+(y- 5)^2 = 25;" "/,&*$,&%\"xG\"\"\"\"\"#!\"\"F(F'*$,&%\"yGF'\"\"&F)F(F'\"# D" }{TEXT -1 54 ". Sie ist die Gleichung des Kreises um M und durch P. " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 104 "Liegt der Punkt Q ebenfalls auf dem Kreis, so m\374ssen seine Koordinaten die Gleichung ebenfalls erf\374 llen." }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 23 "is((5-2)^2+(1-5)^2= 25);" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#%%trueG" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 68 "Damit ist gezeigt: Der Punkt Q liegt auf dem Kreis um M u nd durch P." }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 98 "2) Ein Kreis geht durch A(1/4), B(3/6) und C(4/-1). Welchen Mit telpunkt und welchen Radius hat er?" }}{SECT 1 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 13 "Eigene L\366sung" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}{SECT 1 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 12 "Musterl\366sung" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 36 "Die allgemeine Kreisgleichung lautet" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 " " {MPLTEXT 1 0 28 "Gl := (x-x0)^2+(y-y0)^2=r^2;" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%#GlG/,&*$),&%\"xG\"\"\"%#x0G!\"\"\"\"#\"\"\"F+*$),&% \"yGF+%#y0GF-F.F/F+*$)%\"rGF.F/" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 189 "Hier bei sind x0 und y0 die Koordinaten des Mittelpunkts und r der Radius d es Kreises. Hat man also die Gleichung eines Kreises, so kann man unsc hwer seinen Mittelpunkt und Radius bestimmen." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 93 "Da alle drei Punkte auf dem Kreis liegen, m\374ssen ihre \+ Koordinaten die Kreisgleichung erf\374llen" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 " " {MPLTEXT 1 0 118 "Gl1 := subs(x=1, y=4, Gl);\nGl2 := subs(x=3, y=6, \+ Gl);\nGl3 := subs(x=4, y=-1, Gl);\nsolve(\{Gl1, Gl2, Gl3\}, \{x0, y0, \+ r\});" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%$Gl1G/,&*$),&\"\"\"F*%#x0G! \"\"\"\"#\"\"\"F**$),&\"\"%F*%#y0GF,F-F.F**$)%\"rGF-F." }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%$Gl2G/,&*$),&\"\"$\"\"\"%#x0G!\"\"\"\"#\"\"\"F+* $),&\"\"'F+%#y0GF-F.F/F+*$)%\"rGF.F/" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 " 6#>%$Gl3G/,&*$),&\"\"%\"\"\"%#x0G!\"\"\"\"#\"\"\"F+*$),&F-F+%#y0GF-F.F /F+*$)%\"rGF.F/" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#<%/%#y0G#\"#@\"\")/ %#x0G#\"#NF(/%\"rG,$-%'RootOfG6#,&*$)%#_ZG\"\"#\"\"\"F7!#<\"\"\"#\"\"& \"\"%" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 16 "allvalues(\"[3]); " }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6$/%\"rG,$*$-%%sqrtG6#\"#M\"\"\"#\" \"&\"\")/F$,$F&#!\"&F." }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 44 "Die Koordinate n des Mittelpunktes sind also " }{XPPEDIT 18 0 "x = 35/8;" "/%\"xG*&\" #N\"\"\"\"\")!\"\"" }{TEXT -1 5 " und " }{XPPEDIT 18 0 "y = 21/8;" "/% \"yG*&\"#@\"\"\"\"\")!\"\"" }{TEXT -1 17 "; der Radius ist " } {XPPEDIT 18 0 "r = 5*sqrt(34)/8;" "/%\"rG*(\"\"&\"\"\"-%%sqrtG6#\"#MF& \"\")!\"\"" }{TEXT -1 1 "." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT 286 10 "2. L\366sung:" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 111 "E in zweiter L\366sungsweg nutzt aus, dass in MAPLE bereits Funktionen z ur Behandlung dieser Aufgaben bereitstehen." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 36 "Zuerst wird ein Kreis definiert:dss " }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 " " {MPLTEXT 1 0 86 "with(geometry): circle(MeinKreis, [point(A,1,4), po int(B,3,6), point(C,4,-1)], [x,y]);" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6 #%*MeinKreisG" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 23 "Seine Gleichung lautet: " }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 20 "Equation(MeinKreis);" }} {PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#/,,*$%\"xG\"\"#\"\"\"#\"#^\"\"%F(*$%\" yGF'F(F&#!#NF+F-#!#@F+\"\"!" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 58 "Jetzt kan n man diese Gleichung durch umformen in die Form " }{XPPEDIT 18 0 "(x- x[1])^2+(y-y[1])^2=r^2" "/,&*$,&%\"xG\"\"\"&F&6#F'!\"\"\"\"#F'*$,&%\"y GF'&F.6#F'F*F+F'*$%\"rGF+" }{TEXT -1 85 " bringen. Es ist jedoch genau sogut m\366glich, weitere Funktionen von MAPLE auszun\374tzen:" }} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 18 "detail(MeinKreis);" }}{PARA 6 "" 1 "" {TEXT -1 254 " name of the object: MeinKreis\n form of t he object: circle2d\n name of the center: center_MeinKreis\n coord inates of the center: [35/8, 21/8]\n radius of the circle: 1/32*425^ (1/2)*32^(1/2)\n equation of the circle: x^2+51/4+y^2-35/4*x-21/4*y \+ = 0" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 90 "Das Ergebnis ist, wenn es auch au f den ersten Blick etwas anders aussieht, genau dasselbe." }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 28 "3) Beschreibt die Gleichung " }{XPPEDIT 18 0 "2*x^2+3*x-4*y^2-4*y+2 = 0;" "/,,*&\"\"#\" \"\"*$%\"xGF%F&F&*&\"\"$F&F(F&F&*&\"\"%F&*$%\"yGF%F&!\"\"*&F,F&F.F&F/F %F&\"\"!" }{TEXT -1 13 " einen Kreis?" }}{SECT 1 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 13 "Eigene L\366sung" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}} {SECT 1 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 12 "Musterl\366sung" }}{PARA 0 "" 0 " " {TEXT -1 38 "Ein Kreis hat allgemein die Gleichung " }{XPPEDIT 18 0 "(x-x0)^2+(y-y0)^2 = a;" "/,&*$,&%\"xG\"\"\"%#x0G!\"\"\"\"#F'*$,&%\"yG F'%#y0GF)F*F'%\"aG" }{TEXT -1 5 " oder" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 28 "Gl := (x-x0)^2+(y-y0)^2-a=0;" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%#GlG/,(*$),&%\"xG\"\"\"%#x0G!\"\"\"\"#\"\"\"F+*$),&% \"yGF+%#y0GF-F.F/F+%\"aGF-\"\"!" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 11 "expand(Gl);" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#/,0*$)%\"xG\"\" #\"\"\"\"\"\"*&F'F*%#x0GF*!\"#*$)F,F(F)F**$)%\"yGF(F)F**&F2F*%#y0GF*F- *$)F4F(F)F*%\"aG!\"\"\"\"!" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 62 "Es zeigt s ich sofort: In der ausmultiplizierten Form kann bei " }{XPPEDIT 18 0 " x^2;" "*$%\"xG\"\"#" }{TEXT -1 145 " der Koeffizient nur 1 sein. Dies \+ ist bei der gegebenen Gleichung nicht der Fall; es kann sich hierbei a lso nicht um eine Kreisgleichung handeln." }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 75 "4) Vom Koordinatenursprung soll en die Tangenten an den Kreis der Gleichung " }{XPPEDIT 18 0 "(x-2)^2+ (y-4)^2 = 2;" "/,&*$,&%\"xG\"\"\"\"\"#!\"\"F(F'*$,&%\"yGF'\"\"%F)F(F'F (" }{TEXT -1 94 " gelegt werden. Wie lauten ihre Gleichungen, wenn ein e Gerade in der Ebene allgemein die Form " }{XPPEDIT 18 0 "a*x+b*y+c = 0;" "/,(*&%\"aG\"\"\"%\"xGF&F&*&%\"bGF&%\"yGF&F&%\"cGF&\"\"!" }{TEXT -1 73 " mit (a;b) <> (0;0) hat? Stelle den Kreis und die Tangenten gra fisch dar!" }}{SECT 1 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 9 "Anleitung" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 230 "Die Tangenten an einen Kreis sind diejenigen G eraden, die mit dem Kreis genau einen gemeinsamen Punkt haben. Es sind also diejenigen Geradengleichungen zu bestimmen, die beim Schnitt mit der Kreisgleichung genau eine L\366sung haben." }}}{SECT 1 {PARA 4 " " 0 "" {TEXT -1 13 "Eigene L\366sung" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}{SECT 1 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 12 "Musterl\366sung" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 103 "Da die Gerade durch den Punkt (0/0) geht, m\374ssen die Koordinaten dieses Punktes die Gleichung erf\374llen." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 28 "subs (x=0, y=0, a*x+b*y+c=0);" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#/%\"cG\"\" !" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 44 "Die Gerade hat also eine Gleichung \+ der Form " }{XPPEDIT 18 0 "a*x+b*y = 0;" "/,&*&%\"aG\"\"\"%\"xGF&F&*&% \"bGF&%\"yGF&F&\"\"!" }{TEXT -1 1 "." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 164 "Man erh\344lt die gemeinsamen Punkte z weier geometrischer K\366rper, indem man die L\366sungen des Gleichung ssystems, das die Gleichungen der beiden K\366rper bilden, bestimmt." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 80 "Das Gleichungssystem, das die Gleichung en des Kreises und der Gerade bilden, ist" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 40 "GlSys := \{(x-2)^2+(y-4)^2=2, a*x+b*y=0\};" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%&GlSysG<$/,&*$),&%\"xG\"\"\"!\"#F,\"\"#\" \"\"F,*$),&%\"yGF,!\"%F,F.F/F,F./,&*&%\"aGF,F+F,F,*&%\"bGF,F3F,F,\"\"! " }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 42 "Die L\366sungen dieses Gleichungssys tems sind" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 20 "solve(GlSys, \{ x,y\});" }}{PARA 12 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#<$/%\"yG*&-%'RootOfG6#,(*&, &*$)%\"bG\"\"#\"\"\"\"\"\"*$)%\"aGF0F1F2F2)%#_ZGF0F1F2\"#=F2*&,&F5!\") F/\"\"%F2F7F2F2F2F5F2/%\"xG,$*&F/F2F'F1!\"\"" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 20 "Erg := allvalues(%);" }}{PARA 12 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%$ErgG6$<$/%\"yG,$*&*&,(%\"aG\"\")%\"bG!\"%*$-%%sqrtG6 #,(*$)F-\"\"#\"\"\"!\"#*&F/\"\"\"F-FF< F6F " 0 "" {MPLTEXT 1 0 234 "solve(\{\n1/2*(8*a-4*b +2*sqrt(-2*a^2-16*b*a-14*b^2))*a/(b^2+a^2)=1/2*(8*a-4*b-2*sqrt(-2*a^2- 16*b*a-14*b^2))*a/(b^2+a^2),\n-1/2*b*(8*a-4*b+2*sqrt(-2*a^2-16*b*a-14* b^2))/(b^2+a^2)=-1/2*b*(8*a-4*b-2*sqrt(-2*a^2-16*b*a-14*b^2))/(b^2+a^2 )\n\});" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6$<$/%\"aG,$%\"bG!\"(/F'F'<$/ F%,$F'!\"\"F)" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 99 "Es gibt also zwei L\366 sungen, in Abh\344ngigkeit von b. In die Geradengleichung eingesetzt e rgibt dies: " }{XPPEDIT 18 0 "-7*b*x+b*y = 0;" "/,&*(\"\"(\"\"\"%\"bGF &%\"xGF&!\"\"*&F'F&%\"yGF&F&\"\"!" }{TEXT -1 5 " und " }{XPPEDIT 18 0 "-b*x+b*y = 0;" "/,&*&%\"bG\"\"\"%\"xGF&!\"\"*&F%F&%\"yGF&F&\"\"!" } {TEXT -1 103 ". F\374r b kann jeder beliebige Wert eingesetzt werden. \+ Eine Geradengleichung ist zum Beispiel (mit b=1): " }{XPPEDIT 18 0 "-7 *x+y = 0;" "/,&*&\"\"(\"\"\"%\"xGF&!\"\"%\"yGF&\"\"!" }{TEXT -1 5 " un d " }{XPPEDIT 18 0 "-x+y = 0;" "/,&%\"xG!\"\"%\"yG\"\"\"\"\"!" }{TEXT -1 1 "." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 56 "Die grafische Darstellung erfo lgt mit Hilfe des Befehls " }{TEXT 287 12 "implicitplot" }{TEXT -1 1 " ." }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 12 "with(plots):" }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 70 "implicitplot(\{(x-2)^2+(y-4)^2=2, -7*x+y=0, -x+y=0\}, x=-1..7, y=-1..7);" }}{PARA 13 "" 1 "" {TEXT -1 0 "" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 84 "\n5) Berechne die Koo rdinatengleichung eines Kegels mit der Spitze in S(1 | 2 | 3) )." }} {SECT 1 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 13 "Eigene L\366sung" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}{SECT 1 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 12 "Musterl\366su ng" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 126 "Ein Kegel kann als Menge von Kreis en aufgefasst werden, deren Radius mit seiner H\366he zunimmt. Wir erh alten also die Gleichung " }}{PARA 262 "" 0 "" {XPPEDIT 18 0 "sqrt(x^2 +y^2)=z" "/-%%sqrtG6#,&*$%\"xG\"\"#\"\"\"*$%\"yGF)F*%\"zG" }{TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 102 "Dieser Kegel hat seine Spitze all erdings im Ursprung. Er mu\337 noch entsprechend verschoben werden als o " }{TEXT -1 0 "" }}{PARA 263 "" 0 "" {TEXT -1 1 " " }{XPPEDIT 18 0 " sqrt((x-1)^2+(y-2)^2)=(z-3)" "/-%%sqrtG6#,&*$,&%\"xG\"\"\"F*!\"\"\"\"# F**$,&%\"yGF*F,F+F,F*,&%\"zGF*\"\"$F+" }{TEXT -1 1 "." }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 78 "implicitplot3d(sqrt((x-1)^2+(y-2)^2)=z-3, x=0..2,y=1..3,z=3..4,numpoints=2000);" }}{PARA 13 "" 1 "" {INLPLOT "6) -%+ISOSURFACEG6#7171717&\"\"!$\"\"\"F*$\"\"$F*$\"1&4tBc8UT\"!#:7&$\"+H 9dG9!#5F+F-$\"1qKhzx2<8F17&$\"+eG9dGF5F+F-$\"1=vd4O!*G7F17&$\"+(G9dG%F 5F+F-$\"1$z**o5^<:\"F17&$\"+;dG9dF5F+F-$\"1()>b'enz3\"F17&$\"+Xr&G9(F5 F+F-$\"1X'o%)p:+/\"F17&$\"+u&G9d)F5F+F-$\"16AbWD:55F17&$\"+++++5!\"*F+ F-F+7&$\"+Vr&G9\"FTF+F-FO7&$\"+'G9dG\"FTF+F-FJ7&$F4FTF+F-$\"1')>b'enz3 \"F17&$\"+s&G9d\"FTF+F-F@7&$\"+:dG9FVF-$\"1EaF2v:I5F17&FCFVF-$\"1*4**\\Z[J e*!#;7&FHFVF-$\"18D0H!z].*Fgp7&FMFVF-$\"1#))ovvg'*o)Fgp7&FRFVF-$\"1s&G 9dG9d)Fgp7&FVFVF-F\\q7&FYFVF-Fip7&FfnFVF-$\"1&4**\\Z[Je*Fgp7&FjnFVF-$ \"1DaF2v:I5F17&F]oFVF-$\"1]4q`*\\d6\"F17&F`oFVF-F\\p7&FeoFVF-Fbo717&F* FYF-F;7&F3FYF-F_p7&F9FYF-FO7&F>FYF-$\"1'y*=R.KZ\"*Fgp7&FCFYF-$\"1J/Ny7 $*H$)Fgp7&FHFYF-$\"1C2i\"e#4$p(Fgp7&FMFYF-$\"1Mo%3f8VG(Fgp7&FRFYF-$\"1 Wr&G9dG9(Fgp7&FVFYF-F\\s7&FYFYF-Fir7&FfnFYF-$\"1E/Ny7$*H$)Fgp7&FjnFYF- $\"1#y*=R.KZ\"*Fgp7&F]oFYF-FO7&F`oFYF-Fjq7&FeoFYF-$\"1FfnF-$\"1\"pFjnF-$\"1`r&G9d G9(Fgp7&FCFjnF-$\"1jKJn_\"41'Fgp7&FHFjnF-$\"1IrPOvy]^Fgp7&FMFjnF-$\"1_ i_9&Rv^%Fgp7&FRFjnF-$\"1(H9dG9dG%Fgp7&FVFjnF-F\\w7&FYFjnF-Fiv7&FfnFjnF -Ffv7&FjnFjnF-Fbu7&F]oFjnF-Ffr7&F`oFjnF-Fdq7&FeoFjnF-Fgn717&F*F]oF-FJ7 &F3F]oF-Fip7&F9F]oF-Fir7&F>F]oF-Fgt7&FCF]oF-Fiv7&FHF]oF-$\"1[)3#y,hSSF gp7&FMF]oF-$\"1+(**\\#GQ%>$Fgp7&FRF]oF-$\"1gG9dG9dGFgp7&FVF]oF-Fbx7&FY F]oF-F_x7&FfnF]oF-$\"1ArPOvy]^Fgp7&FjnF]oF-$\"1&R***\\cw)Q'Fgp7&F]oF]o F-$\"1?2i\"e#4$p(Fgp7&F`oF]oF-$\"13D0H!z].*Fgp7&FeoF]oF-FJ717&F*$\"+dG 9d=FTF-FO7&F3FhyF-$\"1\"*)ovvg'*o)Fgp7&F9FhyF-F\\s7&F>FhyF-$\"1D&RP*3: 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t7$FfxFct7$FcxFft7$F`xFit7$F]xFit7$FjwFft7$FgwFct7$FdwF`t7$FawF]t7$F^w Fjs7$F[wFgs7$FhvFds7$FevFas7$FbvF^s7$F_vF[s7$F\\vFhrFju-F26#7$7$$\"\"# F'F'7$$\"$N\"!\"#$\"#vFg\\l-F26#7$7$F'F'Fa\\l-F26#7$Fd\\l7$F'Fh\\l-F26 #7$Fd\\l7$Fe\\lF'-%%TEXTG6$7$$FezF7$\"#&)Fg\\l%\"rG-Fg]l6$7$$\"\"&F7Fj ]l%\"aG-Fg]l6$7$$\"#@F7Fa^l%\"bG-%+AXESLABELSG6$%!G%\"ZG" 2 375 375 375 2 0 1 0 2 9 0 4 2 1.000000 45.000000 45.000000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 16368 16 0 0 0 0 0 0 }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 398 "Ein Torus kann als ein Kreis aufgefasst werden, welch er selbst um die Z-achse rotiert. Wir betrachten einen beliebigen Schn itt, der den Torus in zwei H\344lften zerteilt (s.o). Es entstehen 2 K reise. Der Radius eines Kreises in der Schnittebene sei b. Der Mittelp unktsabstand (mittlerer Radius des Torus) zur Z-Achse sei a, der Abst and des Schnittpunktes von b mit seinem Kreis sei r. Es gilt also " }{XPPEDIT 18 0 "b^2=(r-a)^2+z^2" "/*$%\"bG\"\"#,&*$,&%\"rG\"\"\"%\"aG! \"\"F%F**$%\"zGF%F*" }{TEXT -1 185 ". Da b und a konstante Werte sind \+ (n\344mlich Dicke und Mittlerer Radius) mu\337 nun nur noch r durch x \+ und y ausgedr\374ckt werden. Betrachtet man den Torus von oben ergibt \+ sich folgendes Bild:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 118 "di splay(torus([0,0,0],1,2),line([1,1.5,0.2],[0,0,1],color=red),textplot3 d([1,0.5,3,`r`]),orientation=[0,0],axes=none);" }}{PARA 13 "" 1 "" {INLPLOT "6*-%)POLYGONSG6]_m7&7%$\"\"$\"\"!F*F*7%$\"1o!*GEe#f'H!#:F*$ \"10_-^/>)e#!#;7%$\"1c.ZaV'['GF.$\"13/0-4QwwF1F/7%$\"10s')yux(*GF.$\"1 ;c2`8dkxF1F*7&F+7%$\"1RWy.a-mGF.F*$\"1'*************\\F17%$\"1XfJczOoF F.$\"1V0Z#e>yT(F1F@F27&F=7%$\"1[l=\"y1rq#F.F*$\"1qa'=\"y1rqF17%$\"1c.Z aV'[h#F.$\"1.E(4#z]1qF1FKFB7&FH7%$\"1,++++++DF.F*$\"1#QWy.a-m)F17%$\"1 sEslX\"[T#F.$\"1:IcFhZqkF1FVFM7&FS7%$\"1AD5X!>)eAF.F*$\"1!o!*GEe#f'*F1 7%$\"1Q\"yDl^==#F.$\"1?#GJ)QDYeF1F[oFX7&Fhn7%$\"1-++++++?F.F*$\"\"\"F* 7%$\"1Q\"yDl^=$>F.$\"1:/0-4Qw^F1FfoF]o7&Fco7%$\"1\"[(*[&4=Tfo]*Q)[7F.$\"1B#GJ)QDYLF1FgqF ^q7&Fdq7%$\"1jb@'fuR8\"F.F*$\"1A++++++]F17%$\"1I.%)[`L&4\"F.$\"1#GI;AU \\$HF1FbrFiq7&F_r7%$\"1K4rtT2M5F.F*$\"1O_-^/>)e#F17%$\"1!=fo]*Q))**F1$ \"1:/0-4QwEF1F]sFdr7&Fjr7%FfoF*$\"1wEL/^3JK!#I7%$\"1$o!*GEe#f'*F1F/Ffs F_s7&Fes7%$\"1J4rtT2M5F.F*$!1u^-^/>)e#F17%$\"1j\"fo]*Q))**F1$\"15/0-4Q wEF1F`tFis7&F]t7%$\"1fb@'fuR8\"F.F*$!1n************\\F17%$\"1F.%)[`L&4 \"F.$\"1t-j@A%\\$HF1F[uFbt7&Fht7%$\"1]M\")=K*GH\"F.F*$!1Ya'=\"y1rqF17% $\"1:fo]*Q)[7F.$\"17#GJ)QDYLF1FfuF]u7&Fcu7%$\"1'************\\\"F.F*$! 1mV%y.a-m)F17%$\"1*fL%R()))[9F.$\"1)zPln&G#)QF1FavFhu7&F^v7%$\"1vu*[&4 =TF.F*$!\"\"F*7%$\"1K\"yDl^=$>F.$\"1)R]?!4Qw^F1FgwF^w 7&Fdw7%$\"1;D5X!>)eAF.F*$!1&p!*GEe#f'*F17%$\"1K\"yDl^==#F.$\"1/#GJ)QDY eF1FbxFiw7&F_x7%$\"1'************\\#F.F*$!18W%y.a-m)F17%$\"1mEslX\"[T# F.$\"1-IcFhZqkF1F]yFdx7&Fjx7%$\"1Vl=\"y1rq#F.F*$!1:b'=\"y1rqF17%$\"1_. 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