{VERSION 2 3 "IBM INTEL NT" "2.3" } {USTYLETAB {CSTYLE "Maple Input" -1 0 "Courier" 0 1 255 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 }{CSTYLE "2D Math" -1 2 "Times" 0 1 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "Hyperlink" -1 17 "" 0 1 0 128 128 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 } {CSTYLE "2D Comment" 2 18 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "2 D Output" 2 20 "" 0 1 0 0 255 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 256 " " 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 257 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 258 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 } {CSTYLE "" -1 259 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 260 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 261 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 262 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 } {CSTYLE "" -1 263 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 264 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 265 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 266 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 } {CSTYLE "" -1 267 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 268 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 269 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 270 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 } {CSTYLE "" -1 271 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 }{PSTYLE "Normal" -1 0 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }0 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "Text Output" -1 2 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Co urier" 1 10 0 0 255 1 0 0 0 0 0 1 3 0 0 }1 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "Heading 1" 0 3 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 1 18 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 }1 0 0 0 6 6 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "" 2 6 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 }0 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "Maple Output" 0 11 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }3 3 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "" 11 12 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }1 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "Title" 0 18 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 1 18 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 }3 0 0 -1 12 12 0 0 0 0 0 0 19 0 }{PSTYLE "Author" 0 19 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }3 0 0 -1 8 8 0 0 0 0 0 0 -1 0 }} {SECT 0 {EXCHG {PARA 0 "" 0 "Konvergenz" {TEXT -1 81 "Dr. M. Komma \+ Isolde-Kurz-Gymnasium Reutlingen Feb. 97 " }}} {EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}{EXCHG {PARA 18 "" 0 "" {TEXT -1 21 "Konvergenz von Folgen" }}{PARA 19 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 70 "W ozu sollen wir Grenzwerte von Folgen berechnen, das macht doch Maple! " }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 8 "restart:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 34 "Grenzwert:=limit(f(n),n=infinity); " }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%*GrenzwertG-%&limitG6$-%\"fG6#% \"nG/F+%)infinityG" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 19 "f:=n- >n: Grenzwert;" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#%)infinityG" }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 21 "f:=n->1/n: Grenzwert;" }} {PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#\"\"!" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 23 "f:=n->1/n^2: Grenzwert;" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#\"\"!" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 31 "f:=n->(n+3)/ (3*n-7): Grenzwert;" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6##\"\"\"\"\"$" } }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 " " {TEXT -1 323 "Und was sonst noch f\374r Aufgaben in den B\374chern ( Klasse 11) stehen m\366gen... Aber wenn sich Maple irrt - das soll ja \+ immer mal wieder vorkommen? Au\337erdem sollten wir doch verstehen, wa s da vor sich geht. Wie beweist man also, da\337 eine Folge konvergent (oder divergent) ist, wie berechnet man Grenzwerte (wenn sie existier en)?" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 158 "Wenn man nach der Defini tion geht, kann man mit der Untersuchung auf Konvergenz erst beginnen, wenn man wenigstens eine Vermutung f\374r den Grenzwert hat. Also:" } }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 10 "f:=n->1/n:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 18 "seq(f(n),n=1..20);" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "66\"\"\"#F #\"\"##F#\"\"$#F#\"\"%#F#\"\"&#F#\"\"'#F#\"\"(#F#\"\")#F#\"\"*#F#\"#5# F#\"#6#F#\"#7#F#\"#8#F#\"#9#F#\"#:#F#\"#;#F#\"#<#F#\"#=#F#\"#>#F#\"#? " }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 349 "Legt die Vermutung nahe, da\337 es sich um eine Nul lfolge handelt, der Grenzwert also Null ist. Jetzt m\374ssen wir zeige n, da\337 fast alle Folgenglieder in jeder noch so kleinen Umgebung vo n 0 liegen. \334brigens sind wir jetzt wieder im Eindimensionalen, als o auf dem Zahlenstrahl, und da nimmt man als Umgebung nicht einen Krei s mit beliebig kleinem Radius " }{XPPEDIT 18 0 "epsilon" "I(epsilonG6 \"" }{TEXT -1 23 " sondern ein Intervall " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 1 "[" }{XPPEDIT 18 0 "-epsilon,epsilon" "6$,$%(epsilonG!\"\"F$" } {TEXT -1 19 "] um den Ursprung (" }{XPPEDIT 18 0 "epsilon>0" "2\"\"!%( epsilonG" }{TEXT -1 2 ")." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 17 "epsilon:=10^(-3);" }} {PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%(epsilonG#\"\"\"\"%+5" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 40 "plot(0,x=-epsilon..epsilon,thicknes s=3);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 34 "Nun m\374ssen wir zeigen, da\337 es ein " } {XPPEDIT 18 0 "n[0]" "&%\"nG6#\"\"!" }{TEXT -1 33 " gibt, so da\337 f \374r alle folgenden " }{TEXT 256 1 "n" }{TEXT -1 7 " gilt: " }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 18 "abs(x[n]) " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 105 "Man nimmt wie gewohnt den Betrag zur Angabe des Abstands (in diesem Beispiel des Abstands vom Ursprung). " }}}{EXCHG {PARA 0 " > " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 11 "abs(f(n)); " }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#*$-%$absG6#%\"nG!\" \"" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 " " 0 "" {TEXT -1 41 "Und jetzt fragen wir einfach, f\374r welche " } {XPPEDIT 18 0 "n" "I\"nG6\"" }{TEXT -1 31 " die Folgenglieder kleiner \+ als " }{XPPEDIT 18 0 "epsilon " "I(epsilonG6\"" }{TEXT -1 6 " sind:" } }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 25 "solve(abs(f(n)) " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 78 "Auf Deutsch: Maple mei nt, da\337 alle reellen Zahlen im offenen Intervall ]1000," } {XPPEDIT 18 0 "infinity" "I)infinityG6\"" }{TEXT -1 10 "[ und ]-" } {XPPEDIT 18 0 "infinity,-1000" "6$%)infinityG,$\"%+5!\"\"" }{TEXT -1 64 "[ in Frage kommen. Aber wir haben Maple noch nicht gesagt, da\337 " }{TEXT 257 1 "n" }{TEXT -1 26 " eine nat\374rliche Zahl ist:" }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 " " {MPLTEXT 1 0 18 "assume(n,natural):" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 9 "about(n);" }}{PARA 6 "" 1 "" {TEXT -1 84 "Originally n , renamed n~:\n is assumed to be: AndProp(integer,RealRange(0,infinit y))" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 " > " 0 "" {MPLTEXT 1 0 25 "solve(abs(f(n)) " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 27 "Dabei wollten wir doch nur " }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 14 "n:='n':n>1000;" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#2\"%+5%\"nG" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 7 "sehe n. " }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 27 "solve(abs(f(n)) " 0 "" {MPLTEXT 1 0 29 "solve(abs(f(n)) " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 88 "Aha - suchet, und ihr werdet finden, z.B. in der Maple-Hilfe: 'Use solve over name \+ sets." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 31 "Haben wir jetzt bewiesen, da\337 " }{XPPEDIT 18 0 "1/n" "*&\"\"\"\"\"\"%\"nG!\"\"" }{TEXT -1 21 " eine Nullfolge i st?" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 36 "Eigentlich ist es ja offen sichtlich:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 8 "epsilon;" }} {PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6##\"\"\"\"%+5" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 42 "plot(\{epsilon,-epsilon,1/n\},n=100..10000);" }} }{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 68 "Die ca. 10000 Punkte liegen jetzt im Plot ohnehin so dicht, da\337 wir " }{TEXT 258 1 "n" }{TEXT -1 305 " wie eine 'reelle Zahl' behandeln - plottet Maple eigentlich die \+ Funktionswerte zu allen reellen Zahlen des Plotbereichs? Wohl eher nur eine Teilfolge - so viel ich wei\337 sind 250 Punkte voreingestellt. \+ Und dann w\344re da noch die Aufl\366sung des Bildschirms: die ist bes timmt diskret und nicht kontinuierlich." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 49 "Dann k\366nne n wir ja die n\344chste Folge untersuchen:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 " " {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 23 "f:=n- >1/2/((n-50)^2+1);" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%\"fG:6#%\"nG6 \"6$%)operatorG%&arrowGF(,$*$,&*$,&9$\"\"\"!#]F2\"\"#F2F2F2!\"\"#F2F4F (F(" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 " " 0 "" {TEXT -1 34 "Wir vermuten wieder eine Nullfolge" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 18 "f(n) $ n=100..150;" }}{PARA 12 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6 U#\"\"\"\"%-]#F$\"%/_#F$\"%5a#F$\"%?c#F$\"%Me#F$\"%_g#F$\"%ui#F$\"%+l# F$\"%In#F$\"%kp#F$\"%-s#F$\"%Wu#F$\"%!p(#F$\"%Sz#F$\"%%>)#F$\"%_%)#F$ \"%9()#F$\"%!)*)#F$\"%]#*#F$\"%C&*#F$\"%-)*#F$\"&%35#F$\"&q.\"#F$\"&g1 \"#F$\"&a4\"#F$\"&_7\"#F$\"&a:\"#F$\"&g=\"#F$\"&q@\"#F$\"&%[7#F$\"&-G \"#F$\"&CJ\"#F$\"&]M\"#F$\"&!y8#F$\"&9T\"#F$\"&_W\"#F$\"&%z9#F$\"&S^\" #F$\"&!\\:#F$\"&We\"#F$\"&-i\"#F$\"&kl\"#F$\"&Ip\"#F$\"&+t\"#F$\"&uw\" #F$\"&_!=#F$\"&M%=#F$\"&?)=#F$\"&5#>#F$\"&/'>#F$\"&-+#" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 70 "Stimmt, der Nenner wird immer gr\366\337er. Jetzt brauchen wir \+ noch dieses " }{XPPEDIT 18 0 "n[0]" "&%\"nG6#\"\"!" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 18 "solve(f(n)<1/100);" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6$-%*RealRan geG6$,$%)infinityG!\"\"-%%OpenG6#\"#V-F$6$-F*6#\"#dF'" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 2 "??" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 40 "Was sollen wir jetzt nehmen: 18 oder 82?" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 " " {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 40 "plot( \{1/100,1/2/((n-50)^2+1)\},n=0..100);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "Folge, \+ monoton" {TEXT -1 25 "Aha, die Folge ist nicht " }{TEXT 259 7 "monoton " }{TEXT -1 48 ", d.h., die obige Feststellung, da\337 'der Nenner " } {TEXT 260 5 "immer" }{TEXT -1 139 " gr\366\337er wird' war etwas vorei lig. Um (strenge) fallende Monotonie zu garantieren, mu\337 der Nachfo lger (echt) kleiner sein als der Vorg\344nger:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> \+ " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 21 " solve(f(n+1)-f(n)<0);" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#-%*RealRangeG 6$-%%OpenG6##\"#**\"\"#%)infinityG" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 122 "Maple schein t doch mit Ungleichungen umgehen zu k\366nnen. Von Hand w\344re es wo hl etwas m\374hsamer, diese Ungleichung zu l\366sen:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 19 "ugl:=f(n+1)-f(n)<0;" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%$uglG2,&*$,&*$,&%\"nG\"\"\"!#\\F,\"\"#F,F,F,!\"\"#F,F .*$,&*$,&F+F,!#]F,F.F,F,F,F/#F/F.\"\"!" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 27 "Man m\374\337te etwa so vorgehen:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> \+ " 0 "" {MPLTEXT 1 0 14 "simplify(ugl);" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#2,$*(,&%\"nG\"\"#!#**\"\"\"F*,(*$F'F(F*F'!$+\"\"%,DF*!\"\",(F,F* F'!#)*\"%-CF*F/#F/F(\"\"!" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 45 "Ach \+ ja - jetzt sehe ich das Ergebnis auch ;-)" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 " " {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 82 "Man k\366nn te auch bei der Kurvendiskussion eine Anleihe machen, und das Maximum \+ von " }{XPPEDIT 18 0 "f(n" "-%\"fG6#%\"nG" }{TEXT -1 11 " bestimmen:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 20 "solve(diff(f(n),n));" }} {PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#\"#]" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 167 "Aber oben steht doch 99/2? Nun ja - Folgen sind ja unendlich l ang und wir brauchen ja nur fast alle Glieder f\374r die Konvergenz. W ie sieht eigentlich die Ableitung aus?" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 13 "diff(f(n),n);" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#,$*& ,&*$,&%\"nG\"\"\"!#]F)\"\"#F)F)F)!\"#,&F(F+!$+\"F)F)#!\"\"F+" }}} {EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 51 "Und was hat die Ableitung mit der \+ Monotonie zu tun?" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}} {EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 107 "Bevor wir so richtig \374ben, sol lten wir uns noch um divergente Folgen k\374mmern. Da m\374ssen wir ze igen, da\337 es " }{TEXT 261 6 "keinen" }{TEXT -1 16 " Grenzwert gibt. " }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 8 "f:=n->n;" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%\"fG:6#%\"nG6\"6$%)operatorG%&arrowGF(9$F(F(" }} }{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 " " {MPLTEXT 1 0 22 "plot(f(n),n=1..10000);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 82 "Wo soll da auch ein Grenzwert sein? Das Problem ist nur - wir m\374ssen das beweisen!" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 61 "Also ange nommen wir h\344tten einen, z.B. 1000, und nehmen eine " }{XPPEDIT 18 0 "epsilon" "I(epsilonG6\"" }{TEXT -1 20 "-Umgebung von 1/100:" }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 " " {MPLTEXT 1 0 32 "solve(abs(f(n)-1000)<1/100,\{n\});" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#<$2#\"&*****\"$+\"%\"nG2F(#\"',+5F'" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 195 "Also alle Elemente zwischen 999,99 und 1 000,01. Da liegt aber nur eines und nicht fast alle. Aber es k\366nnte ja sein, da\337 die Zahlenfolge bei 10000000 pl\366tzlich stehen blei bt oder bei sonst einem " }{TEXT 262 1 "g" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 " " {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 29 "solve (abs(f(n)-g)<1/100,\{n\});" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6$<$1%\"gG %\"nG2F&,&F%\"\"\"#F)\"$+\"F)<$2,&F%F)#!\"\"F+F)F&2F&F%" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 109 "Also hier hilft uns Maple auch nicht weiter - aber vielleicht \+ unser Kopf. Welche Eigenschaften hat die Folge?" }}}{EXCHG {PARA 0 "> \+ " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 23 " solve(f(n+1)-f(n)>0,n);" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#%\"nG" }}} {EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 20 "Sie nimmt monoton zu" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 26 "maximize(n,n,0..infinity);" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#%)infinityG" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 14 "und hat keine " }{TEXT 263 14 "obere Schranke" }{TEXT -1 20 ", da hilft a uch die " }{TEXT 264 15 "untere Schranke" }{TEXT -1 7 " wenig:" }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 26 "minimize(n,n,0..infinity);" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#\"\"!" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "Folge , beschraenkt" {TEXT -1 107 "So eine Folge kann sich einer Zahl nicht \+ beliebig n\344hern, sie kann sich von jeder Zahl nur beliebig weit - \+ " }{TEXT 265 12 "unbeschr\344nkt" }{TEXT -1 84 " - entfernen. Neben de r Eigenschaft der Monotonie ist also noch die Eigenschaft der " } {TEXT 266 14 "Beschr\344nktheit" }{TEXT -1 39 " interessant (jedenfall s bei Folgen ;-)" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}} {EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 77 "Gibt es \374berhaupt Folgen, die m onoton zunehmen und nach oben beschr\344nkt sind?" }}}{EXCHG {PARA 0 " > " 0 "" {MPLTEXT 1 0 12 "f:=n->1-1/n;" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%\"fG:6#%\"nG6\"6$%)operatorG%&arrowGF(,&\"\"\"F-*$9$!\"\"F0F(F (" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 20 "plot(f(n),n=1..100);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 " " {TEXT -1 63 "Also gr\366\337er als 100 werden die Glieder diese Folg e sicher nicht" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 33 "minimize(100-f(n),n,1..infin ity);" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#\"#**" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 23 "Auch nicht gr\366\337er als 5" }}}{EXCHG {PARA 0 "> \+ " 0 "" {MPLTEXT 1 0 31 "minimize(5-f(n),n,1..infinity);" }}{PARA 11 " " 1 "" {XPPMATH 20 "6#\"\"%" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 31 "minimize(1-f(n),n,1..infinity);" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6 #\"\"!" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 32 "Stimmt - auch nicht gr \366\337er als 1" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 29 "maximiz e(f(n),n,1..infinity);" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#\"\"\"" }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 41 "plot(\{seq(1+1/k,k=1..50),f( n)\},n=1..100);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}} {EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 116 "Eins ist also die kleinste obere \+ Schranke, gegen die diese Folge monoton w\344chst. Und das mu\337 wohl ihr Grenzwert sein" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 18 "assume(epsilon>0):" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 22 "assume(n,natural,n>0):" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 26 "solve(1-f(n) " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 50 "Ich denke, wir k\366nnen jetzt einen Satz aufstellen:" }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT 267 5 "Satz:" } {TEXT -1 80 " Jede monoton wachsende und nach oben beschr\344nkte Folg e besitzt einen Grenzwert." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 194 "Haben wir diesen Satz nicht schon bewiesen? Nat \374rlich gilt f\374r monoton fallende Folgen ein entsprechender Satz. Unter einer beschr\344nkten Folge (schlechthin) versteht man \374brig ens eine noch oben " }{TEXT 268 3 "und" }{TEXT -1 148 " unten beschr \344nkte Folge. Eine monotone und beschr\344nkte Folge ist also konver gent und der Grenzwert ist die kleinste obere (gr\366\337te untere) Sc hranke." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 98 "Unter einer beschr\344nkten Fo lge versteht man eine nach oben und unten beschr\344nkte Folge, also g ilt:" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "Konverge nzkriterium" {TEXT 269 23 "1. Konvergenzkriterium:" }{TEXT -1 52 " Ein e monotone und beschr\344nkte Folge ist konvergent." }}{PARA 0 "" 0 " " {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 27 "Und oben haben wir gese hen:" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT 271 5 "S atz:" }{TEXT -1 88 " Eine monotone und nicht beschr\344nkte Folge ist \+ divergent. (Man sagt in diesem Fall auch " }{TEXT 270 18 "bestimmt div ergent" }{TEXT -1 2 ".)" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 144 "Jetzt haben wir zwei S\344tze, an denen \+ wir uns etwas in Logik \374ben k\366nnen. (N\344here Informationen zur Logik (mit Maple) sind in den Worksheets zur " }{HYPERLNK 17 "Aussage nlogik" 1 "..\\logik1.mws" "" }{TEXT -1 8 " und zu " }{HYPERLNK 17 "Sc hl\374ssen" 1 "..\\logik2.mws" "" }{TEXT -1 12 " zu finden.)" }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 " " {MPLTEXT 1 0 63 "restart:with(logic);alias(monoton=m,beschr\344nkt=b ,konvergent=k);" }}{PARA 12 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#7.%'bequalG%&bsimpG %&canonG%-convert/MOD2G%2convert/frominertG%0convert/toinertG%(distrib G%%dualG%(environG%)randboolG%(satisfyG%*tautologyG" }}{PARA 11 "" 1 " " {XPPMATH 20 "6&%\"IG%(monotonG%+beschr|_ynktG%+konvergentG" }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 73 "Wir schreiben das erste Konvergenzkriterium als aussagenl ogische Funktion" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 36 "p1f:=(x ,y,z)->(x &and y) &implies z;" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%$p1 fG:6%%\"xG%\"yG%\"zG6\"6$%)operatorG%&arrowGF*-%)&impliesG6$-%%&andG6$ 9$9%9&F*F*" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 21 "und machen eine Probe" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 11 "p1f(m,b,k);" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#-%)&impliesG6$-%%&andG6$%(monotonG%+beschr|_ynktG%+konvergentG" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 " " {TEXT -1 339 "Im n\344chsten Befehl wird ein Maple-Operator S1 defin iert, mit dem sich testen l\344\337t, welche Schl\374sse das Kriterium zul\344\337t (wenn man noch etwas hinzuf\374gt ;-). Falls es sich nic ht um eine Tautologie handelt, wird in Gegenbeispiel in der Variablen \+ r1 gespeichert. (Bei \304nderungen am Operator, mu\337 der Befehl defi ne() zweimal ausgef\374hrt werden.)" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 21 "x:='x':y:='y':z:='z':" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 116 "define(S1, forall([x,y,z], S1(x,y,z) = 'tautology((x &and y & and p1f(x,y,z)) &implies ((m &and b) &iff k) ,'r1')'));" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 55 "Also - monotone und beschr\344nkte Folgen sind konvergent:" }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 " " {MPLTEXT 1 0 17 "S1(m , b, k);r1;" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 " 6#%%trueG" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 53 "Monotone und nicht beschr\344nkte Folgen \+ sind divergent:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 23 "S1( m , ¬ b, k);r1;" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#%&falseG" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#<%/%+beschr|_ynktG%&falseG/%(monotonG%%trueG /%+konvergentGF)" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 27 "S1( m ,¬ b, ¬ k);r1; " }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#%%trueG" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 " " {TEXT -1 26 "So kann man es auch sagen." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 " " {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 23 "S1(¬ m , b, k);r1;" }} {PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#%&falseG" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#<%/%(monotonG%&falseG/%+beschr|_ynktG%%trueG/%+konvergentGF)" }} }{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 51 "Stimmt das? Und was gibt es noch \+ f\374r M\366glichkeiten?" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 " " }}}{SECT 1 {PARA 3 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 72 "for x in [m, ¬ m] do for y in [b, ¬ b] do for z in [k, ¬ k] do " }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 63 "print(x,` un d `, y,` ==> `,z,` ist `,S1( x , y, z)); od od od;" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6)%(monotonG%&~un d~G%+beschr|_ynktG%&~==>~G%+konvergentG%'~ist~~G%%trueG" }}{PARA 11 " " 1 "" {XPPMATH 20 "6)%(monotonG%&~und~G%+beschr|_ynktG%&~==>~G-%%¬ G6#%+konvergentG%'~ist~~G%&falseG" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6)% (monotonG%&~und~G-%%¬G6#%+beschr|_ynktG%&~==>~G%+konvergentG%'~ist~ ~G%&falseG" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6)%(monotonG%&~und~G-%%&no tG6#%+beschr|_ynktG%&~==>~G-F&6#%+konvergentG%'~ist~~G%%trueG" }} {PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6)-%%¬G6#%(monotonG%&~und~G%+beschr|_ ynktG%&~==>~G%+konvergentG%'~ist~~G%&falseG" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6)-%%¬G6#%(monotonG%&~und~G%+beschr|_ynktG%&~==>~G-F$6 #%+konvergentG%'~ist~~G%%trueG" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6)-%%& notG6#%(monotonG%&~und~G-F$6#%+beschr|_ynktG%&~==>~G%+konvergentG%'~is t~~G%&falseG" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6)-%%¬G6#%(monotonG%& ~und~G-F$6#%+beschr|_ynktG%&~==>~G-F$6#%+konvergentG%'~ist~~G%%trueG" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 " " {TEXT -1 14 "Alles korrekt?" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 51 "Gehen diese Tricks auch mit dem Satz zur Divergenz?" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 23 "x:='x': y:='y': z:='z':" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 47 "p2 f:=(x,y,z)-> (x &and ¬ y) &implies ¬ z;" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%$p2fG:6%%\"xG%\"yG%\"zG6\"6$%)operatorG%&arrowGF*-%)& impliesG6$-%%&andG6$9$-%%¬G6#9%-F66#9&F*F*" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 11 "p2f(m,k,b);" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#- %)&impliesG6$-%%&andG6$%(monotonG-%%¬G6#%+konvergentG-F+6#%+beschr| _ynktG" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 23 "x:='x': y:='y': z:='z':" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 133 "define(S2, forall([x,y,z], S2(x,y,z) = 'tautolo gy(( x &and y &and dual(p2f(x,y,z))) &implies (¬ (m &and b) &xor &n ot k) ,'r2')'));" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 72 "for x in [m, ¬ m] do for \+ y in [b, ¬ b] do for z in [k, ¬ k] do " }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 63 "print(x,` und `, y,` ==> `,z,` ist `,S2( x , y, z)); od od od;" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6)%(monotonG%&~und~G %+beschr|_ynktG%&~==>~G%+konvergentG%'~ist~~G%%trueG" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6)%(monotonG%&~und~G%+beschr|_ynktG%&~==>~G-%%¬G6#% +konvergentG%'~ist~~G%&falseG" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6)%(mon otonG%&~und~G-%%¬G6#%+beschr|_ynktG%&~==>~G%+konvergentG%'~ist~~G%& falseG" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6)%(monotonG%&~und~G-%%¬G6# %+beschr|_ynktG%&~==>~G-F&6#%+konvergentG%'~ist~~G%%trueG" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6)-%%¬G6#%(monotonG%&~und~G%+beschr|_ynktG%&~= =>~G%+konvergentG%'~ist~~G%&falseG" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6) -%%¬G6#%(monotonG%&~und~G%+beschr|_ynktG%&~==>~G-F$6#%+konvergentG% '~ist~~G%%trueG" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6)-%%¬G6#%(monoton G%&~und~G-F$6#%+beschr|_ynktG%&~==>~G%+konvergentG%'~ist~~G%&falseG" } }{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6)-%%¬G6#%(monotonG%&~und~G-F$6#%+be schr|_ynktG%&~==>~G-F$6#%+konvergentG%'~ist~~G%%trueG" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 109 "O.K. Wir sollten uns sp\344ter einmal um den exakten Verlauf der Wahrheitswerte und um g\374ltige Schl\374sse \+ k\374mmern." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 47 "Hier ist noch eine etwas bescheidenere Me thode:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 21 "k:='k':b:='b':m:= 'm':" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 30 "b:=\{divergent_besc hr\344nkt , k\};" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%+beschr|_ynktG<$ %5divergent_beschr|_ynktG%+konvergentG" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 48 "k:=monoton_beschr\344nkt,nicht_monoton_beschr\344nkt; " }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%+konvergentG6$%3monoton_beschr| _ynktG%9nicht_monoton_beschr|_ynktG" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 2 "b;" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#<%%9nicht_monoto n_beschr|_ynktG%5divergent_beschr|_ynktG%3monoton_beschr|_ynktG" }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 50 "m:=\{monoton_nicht_beschr \344nkt ,monoton_beschr\344nkt\};" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#> %(monotonG<$%9monoton_nicht_beschr|_ynktG%3monoton_beschr|_ynktG" }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 " " {MPLTEXT 1 0 14 "m intersect b;" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#< #%3monoton_beschr|_ynktG" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 30 "member(op(m intersect b),\{k\});" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#%%trueG" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 " " {TEXT -1 18 "Aber wirkungsvoll." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}} {EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 25 "komma@oe.uni-tuebingen.de" }}}} {MARK "0 0 0" 21 }{VIEWOPTS 1 1 0 1 1 1803 }